10、网络过滤与拓扑分析：从基础概念到实际应用

网络过滤与拓扑分析：从基础概念到实际应用

1. 网络过滤与单纯复形扩展

网络过滤可基于网络的单纯复形进行。在网络科学中，网络度量的单纯复形扩展是一个全新的研究领域，目前用于计算网络度量的单纯类比的软件包或开源函数较少。不过，希望相关示例和论文能促使网络科学软件包中增加基于单纯形的度量。或许你可以迎接挑战，为 igraph 包或其他开源网络科学工具贡献函数。

2. 同调论简介

同调论的基本拓扑前提是计算对象或数据集中不同维度的洞。例如，中间有洞的纸张或内部有空气的篮球，这些洞具有不同维度，且每个洞将对象的连接部分与其他部分分隔开。当这些洞存在于流形或函数中时，我们可以系统地研究它们，并根据洞的数量和维度对对象或空间进行分类。

同调是对给定对象或空间内不同维度的洞（如连通分量、圆、球体、空洞等）的计数，通常用于对该对象或空间进行分类。对于低维空间，这相对简单，甚至可以构建物理模型来数洞。然而，也有一些同调的变体，使拓扑学家无需物理模型就能区分高维或形状奇特的对象和空间。

对应于每个维度的洞的数字形成了一组方便的值，称为贝蒂数。贝蒂数组织了给定对象或空间内洞的数量和类型，以便对每个对象进行分类，并与具有匹配数字的其他对象一起研究。通常，这些数字存储在向量中。下面通过一些简单示例来理解。

3. 贝蒂数示例

从拓扑角度看，并非所有球都是相同的。篮球和棒球在三维空间中都是圆形球，但它们的第二个贝蒂数不同，第二个贝蒂数用于计算对象中的三维空洞。贝蒂数向量是一个无限序列，从第零位的连通分量开始，依次到第一位的圆、第二位的空洞以及更高维的空洞。

在实际中，大多数