57、布尔函数的自相关系数与相关性免疫性解读

布尔函数的自相关系数与相关性免疫性解读

1. 引言

在密码学领域，布尔函数有着广泛的应用。基于线性反馈移位寄存器（LFSR）的流密码会将布尔函数用作非线性组合器或非线性滤波器，而分组密码则在替换盒中使用布尔函数。为了抵抗各种攻击，用于密码学的布尔函数必须具备特定的属性。

在LFSR流密码中，相关性免疫性是布尔函数的一个重要属性，它由Siegenthaler引入。此外，非线性性、代数次数等也是重要属性。对于分组密码使用的布尔函数，非线性性和基于自相关系数的差分（或自相关）特性（如传播度、雪崩准则、绝对指标等）尤为关键，而且近年来的研究表明，差分特性对于流密码也很重要。

相关性免疫性（或弹性）不仅在流密码中重要，在其他场景中也有重要意义。如果我们希望已知某些输入位不会提供关于输出位的（统计）信息，那么具有相关性免疫性的函数就很有用。虽然许多研究表明相关性免疫性和自相关特性存在强烈的矛盾，但自相关系数仍然是研究相关性免疫性和其他属性的有力工具。

2. 预备概念和定义

• 向量空间与布尔函数 ：考虑 $F_2^n$，即由 $F_2$ 元素组成的 $n$ 元组向量空间。一个 $n$ 变量的布尔函数是从 $F_2^n$ 到 $F_2$ 的映射。向量 $x$ 的权重是 $x$ 中 1 的个数，记为 $|x|$。若对于每个 $i = 1, 2, \ldots, n$ 都有 $x_i \leq y_i$，则称向量 $x$ 先于向量 $y$，记为 $x \preceq y$。向量 $x$ 和 $u$ 的标量积定义为 $\langle x, u \rangle = \sum_{i = 1}^{n} x_i u_