58、自相关系数与相关性免疫：布尔函数的特性分析

自相关系数与相关性免疫：布尔函数的特性分析

1. 高阶相关性免疫布尔函数的不存在性

当我们研究布尔函数时，会关注其在不同条件下的特性。对于在 $F_2^n$ 上的不平衡非恒定 $m$ 阶相关性免疫布尔函数，当 $m > 0.75n - 1.25$ 时，这类函数是不存在的。

为了证明这一点，我们需要用到一些定理和推论。首先有定理 11：设 $f$ 是 $F_2^n$ 上的任意布尔函数，$w \in F_2^n \setminus {0}$，则有
$\sum_{x\in F_2^n, \langle x,w\rangle = 0} W_f^2(x) = 2^{n - |w|} \sum_{u\in F_2^n, u\preceq w} \Delta_f(u)$。

证明过程如下：
对所有满足 $u \preceq w$ 的 $u$ 对 $\Delta_f(u)$ 求和，根据定理 3 可得：
$\sum_{u\in F_2^n, u\preceq w} \Delta_f(u) = \sum_{u\in F_2^n, u\preceq w} \left(-2^n + 2^{1 - n} \sum_{x\in F_2^n, \langle x,u\rangle \equiv 0 \pmod{2}} W_f^2(x)\right)$
$= -2^{n + |w|} + 2^{1 - n} \sum_{u\in F_2^n, u\preceq w} \sum_{x\in F_2^n, \langle x,u\rangle \equiv 0 \pmod{2}} W_f^2(x)$
$= -2^{n + |w|} + 2^{1 - n} \le