42、自适应安全的阈值Paillier密码系统

自适应安全的阈值Paillier密码系统

在密码学领域，安全的加密系统至关重要。本文将介绍一种自适应安全的阈值Paillier密码系统，它在复杂的安全环境中具有重要的应用价值。

1. 基础概念和工具

首先，我们引入一些必要的概念和工具。对于任意自然数 $n$，$\lambda(n)$ 表示Carmichael的lambda函数，它被定义为 $Z_n^*$ 中元素的最大阶。若奇数 $n$ 的质因数分解为 $\prod_{i=1}^{k} q_i^{f_i}$，则 $\lambda(n) = lcm_{i=1…k}(q_i^{f_i - 1}(q_i - 1))$。

我们的协议将使用两种工具：
- 整数上的Shamir秘密共享 ：用于在多个参与方之间安全地共享秘密信息。
- 未知阶群中的离散对数相等证明 ：用于验证某些离散对数的相等性，确保协议的安全性。

2. Paillier密码系统

Paillier密码系统基于复合度剩余类，具有理想的同态性质。它依赖于 $Z_{n^2}^ $ 中的Carmichael lambda函数以及两个有用的事实：对于所有 $w \in Z_{n^2}^ $，有 $w^{\lambda(n)} = 1 \mod n$ 和 $w^{n\lambda(n)} = 1 \mod n^2$。

2.1 密钥生成

• 选择两个质数 $p$ 和 $q$，令 $n = pq$。
• 对于随机的 $a, b \in Z_n^*$，计算 $g