15、最小二乘法最佳拟合线与平面的应用与解析

最小二乘法最佳拟合线与平面的应用与解析

1 引言

在工程和科学研究中，数据分析和建模是不可或缺的环节。最小二乘法（Least Squares, LS）作为一种经典的数据拟合方法，广泛应用于线性和非线性模型的参数估计。本文将重点介绍最小二乘法在最佳拟合线和平面中的应用，探讨其理论基础、实际操作步骤以及优化技巧。

2 最小二乘法最佳拟合线

2.1 2D直线的最小二乘法拟合

在实际应用中，我们经常需要将一条直线拟合到一组离散点上，以提取出数据的趋势或规律。对于二维（2D）直线，假设有一组坐标点 ((x(i), z(i)))，其中 (z(i)) 是第 (i) 个点的测量高度，(x(i)) 是该点与第一个点的距离。定义最佳拟合线为 (z = a + bx)，其中 (a) 是截距，(b) 是斜率。

最小二乘法的目标是通过最小化每个点到直线的平方距离之和来确定参数 (a) 和 (b)。具体来说，定义目标函数 (E) 为：
[ E = \sum_{i=1}^{n} d(i)^2 ]
其中 (d(i)) 是偏差函数，表示点到直线的距离：
[ d(i) = z(i) - a - bx(i) ]

通过部分微分 (E) 并求解联立方程，可以得到参数 (a) 和 (b) 的解析解：
[ b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x(i) \sum_{i=1}^{n} z(i) - n \sum_{i=1}^{n} x(i)z(i)}{(\sum_{i=1}^{n} x(i))^2 - n \sum_{i=1}^{n} x(i)^2} ]
[ a = \frac{\sum_{i=1}