[JZOJ4654]彩色格子

题目大意

一个$n\times m$的网格图，$K$种颜色，我们要用$K$种颜色中的任意种颜色给网格图染色。要求不存在两个颜色相同的方格曼哈顿距离为奇数。
共有$T$组询问，给定$n,m,K$，求方案数$mod\ 1000000007$。

$1\le T\le10^4,1\le n,m\le20,1\le K\le50$

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题目分析

既然要求曼哈顿距离为奇数，那我们考虑对网格图黑白染色，那么同色方格的只能分配在同一个集合里面。
为了不重复计数，考虑枚举严格用了$i$种颜色，我们再枚举分配$j$种给白集合。设白集合、黑集合大小分别为$s1,s2$，那么这种分配方案对答案的贡献为$C_k^iC_i^jf_{s1,j}f_{s2,i-j}j!(i-j)!$。
其中$f_{i,j}$为第二类斯特林数，表示将$i$个数分配到$j$个集合的方案数。

$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}\times j\\ f_{0,i}=0^i$$
这些东西都可以预处理。
注意边界要开好，不然$n=1,m=1$情况会错。
时间复杂度$\mathrm O(n^2m^2+qK^2)$。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int P=1000000007;
const int N=20;
const int M=20;
const int S=N*M;
const int K=50;

bool col[N+2][M+2];
int f[S+2][K+2];
int c[S+2][S+2];
int fact[S+2];
int n,m,s1,s2,k,T,ans;

void pre()
{
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=S;i++)
        for (int j=1;j<=K&&j<=i;j++)
            f[i][j]=(1ll*f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%P;
    fact[0]=1;
    for (int i=1;i<=S;i++) fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=S;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%P;
    }
}

int main()
{
    pre();
    freopen("colour.in","r",stdin),freopen("colour.out","w",stdout);
    T=read();
    while (T--)
    {
        n=read(),m=read(),k=read(),s1=0,s2=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
                col[i][j]=(i&1)^(j&1),s1+=col[i][j],s2+=1^col[i][j];
        ans=0;
        for (int i=1;i<=k;i++)
            for (int j=0;j<=i;j++)
                (ans+=1ll*c[k][i]*c[i][j]%P*f[s1][j]%P*f[s2][i-j]%P*fact[j]%P*fact[i-j]%P)%=P;
        printf("%d\n",ans);
    }
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}