[GDKOI2016]不稳定的传送门

题目大意

一个图$n$个点，有若干条边，每条边都有成功通过的概率和花费，每条边只能通过一次，即使通过失败，也算通过一次。
其中第$i$个点向第$i+1$个点（$i<n$）连一条概率为$1.0$，花费为$c_i$的的边。
还有$m$条边从$x$连到$y$（$x<y$），概率为$p_i$，花费为$w_i$。
求从点$1$到点$n$的期望最小花费。

$0\le p\le1.0,1\le n,m\le10^5,1\le w_i\le 100,1\le c_i\le 100$

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题目分析

我们将所有边一起讨论，概率为$p$，花费为$c$。
考虑处理当前点$x$到$n$的期望$E_x$。
假设它连出的门为$s_1...s_k$，设一个$1$至$k$的全排列$a_{1..k}$，显然有

$$E_x=min\{c_{s_{a_1}}+p_{s_{a_1}}E_{s_{a_1}}+(1-p_{s_{a_1}})min\{c_{s_{a_2}}+p_{s_{a_2}}E_{s_{a_2}}+(1-p_{s_{a_2}})min\{...\}\}\}$$
这个怎么求最小啊？一脸懵逼。
可以发现两个相邻位置交换顺序并不会影响前面和后面的排列的答案，所以我们只用考虑相邻两个位置谁在前面。
$x$在$y$前更优，当且仅当
$$A(c_x+p_xE_x+(1-p_x)(c_y+p_yE_y+(1-p_y)B))<A(c_y+p_yE_y(1-p_y)(c_x+p_xE_x+(1-p_x)B))$$
令$F_x=c_x+p_xE_x$化简可得
$$\frac{F_x}{p_x}<\frac{F_y}{p_y}$$
然后就可以排序解决了。
时间复杂度$\mathrm O(n+m log_2m)$。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=100005;
const int M=100005;
const int E=N+M;

struct W
{
    double F,P;
}ways[E];

bool operator<(W a,W b)
{
    return a.F/a.P<b.F/b.P;
}

int cnt;

int tov[E],next[E];
double p[E],e[N];
bool vis[N];
int last[N];
int w[E];
int n,m,tot;

void insert(int x,int y,double pb,int ws)
{
    tov[++tot]=y;
    p[tot]=pb;
    w[tot]=ws;
    next[tot]=last[x];
    last[x]=tot;
}

void dfs(int x)
{
    if (vis[x])
        return;
    vis[x]=true;
    int i=last[x],y;
    while (i)
    {
        y=tov[i];
        dfs(y);
        ways[++cnt].P=p[i];
        ways[cnt].F=(double)w[i]+p[i]*e[y];
        i=next[i];
    }
    i=last[x];
    cnt=0;
    while (i)
    {
        y=tov[i];
        ways[++cnt].P=p[i];
        ways[cnt].F=(double)w[i]+p[i]*e[y];
        i=next[i];
    }
    sort(ways+1,ways+1+cnt);
    double Pn=1.0;
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        e[x]=e[x]+Pn*ways[i].F;
        Pn=Pn*(1-ways[i].P);
    }
}

int main()
{
    freopen("portal.in","r",stdin);
    freopen("portal.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1,wr;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&wr);
        insert(i,i+1,1.0,wr);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,wr;
        double pr;
        scanf("%d%d%lf%d",&x,&y,&pr,&wr);
        insert(x,y,pr,wr);
    }
    vis[n]=true;
    e[n]=0;
    dfs(1);
    printf("%.2lf\n",e[1]);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}