C5 广义逆矩阵

最新推荐文章于 2025-11-04 11:20:55 发布

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#矩阵

本文详细介绍了向量空间中的投影变换概念及其性质，并给出了投影矩阵的具体计算方法。此外，还深入探讨了广义逆矩阵的存在性、性质及构造方法，包括不同类型的广义逆矩阵及其计算。

1. 投影变换

定义:
向量空间 $C^{n}$ 中, 子空间 $L$ 与 $M$ 满足 $C^{n}=L \oplus M$ , 对 $\forall x \in C^{n}$ , 分解式 $\in L, z \in M$ 称变换 $T_{L, M}(x)=y$ 到 $L$ 的投影
性质：
性质 $1): T_{L, M}$ 是线性变换
性质(2): $R\left(T_{L, M}\right)=L, N\left(T_{L, M}\right)=M$
性质(3): $\forall x \in L \Rightarrow T_{L, M}(x)=x \quad \forall x \in M \Rightarrow T_{L, M}(x)=0$

投影矩阵：
$T_{L, M}(x)=y \Leftrightarrow P_{L, M} x=y$
$\in L \Rightarrow T_{L, M}(x)=x \Rightarrow P_{L, M} x=x$
$\in M \Rightarrow T_{L, M}(x)=0 \Rightarrow P_{L, M} x=0$

1.1 投影变换相关定理

已知： $R(A)=\left\{y \mid y=A x, x \in C^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \mid A x=0, x \in C^{n}\right\}$
引理1: $A_{n \times n}, A^{2}=A \Rightarrow N(A)=R(I-A)$
定理1: $P_{n \times n}=P_{L, M} \Leftrightarrow P^{2}=P$

1.2 已知两个空间，如何得到对应的投影矩阵

先设：
$\operatorname{dim} L=r, L$ 的基为 $x_{1}, \cdots, x_{r}: X=\left(x_{1}, \cdots, x_{r}\right)$
$\operatorname{dim} M=n-r, M$ 的基为 $y_{1}, \cdots, y_{n-r}: Y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n-r}\right)$
所以：
$P_{L, M} x_{i}=x_{i} \Rightarrow P_{L, M} X=X$
$P_{L, M} y_{j}=\theta \Rightarrow P_{L, M} Y=O$
$\Rightarrow P_{L, M}=(X \mid O)(X \mid Y)^{-1}$