透视投影变换矩阵推导学习笔记

最近在研究透视投影，Twinsen大神的神贴有非常详细的推导过程(传送门)，这里做一下学习笔记。

首先是两点基础的原理：

1.P经过矩阵M变换后得到P’点，如果知道P(x,y,z)和变换后的P’(x’,y’,z’)，只要P’点的各个分量x’,y’,z’可以表示成原分量x,y,z的线性表示，那么就可以反推出变换矩阵M。如P(x,y,z)，变换后的P’(2x+3y,7z,x+2y+3z)，则可以推导出变换矩阵为：

2.为了方便裁剪，顶点最终会被变换到一个叫做规则观察体（CVV）中，它是一个x,y,z均为[-1,1]的立方体，由于透视投影的视景体是锥形，所以要将视景体与CVV进行映射，就需要一个线性插值的过程，将[left,right]变换到[-1,1],将[bottom,top]变换到[-1,1]，将[near,far]变换到[-1,1]，如图：

下面简单的写下推导的主要步骤。

图中P(x,y,z)，投影平面为近平面，投影点P’(x’,y’,z’)，那么根据相似三角形有x/z=x’/z’，其中z’=-N，所以可以求得x’=-Nx/z，同理得y’=-Ny/z，所以P’(-Nx/z,-Ny/z,-N)