【数据结构和算法】Day 4

算法时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

用大写的O()来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶的方法：

1）用常数1取代运行次数函数中的所有加法常数。

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

4）得到的最后结果就是大O阶

举例1：

int sum = 0, n = 100;
printf("Hello World!\n");
printf("Hello World!\n");
printf("Hello World!\n");
printf("Hello World!\n");
printf("Hello World!\n");
printf("Hello World!\n");
sum = (1+n)*n/2;

这段代码的大O是O(1),而不是O(8)，因为T(n)是关于问题规模n的函数，但这段代码的运行次数，和问题规模n毫无关系，所以要记作O(1)。

牢记，如果大O内部是一个常数，那只能是1，而不能是别的数字。

线性阶：线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。一般含有非嵌套循环的程序涉及线性阶。

举例2：

int i , n = 100 , sum = 0;
for( i=0; i < n; i++ )
{
    sum = sum + i;
}

上面这段代码，它的时间复杂度为O(n),因为循环体中的代码需要执行n次。

平方阶，一般嵌套循环的程序涉及平方阶。

int i, j, n = 100;
for( i=0; i < n; i++ )
{
     for( j=0; j < n; j++ )
     {
          printf("Hello World!\n");
     }
}

上面这段代码，它的时间复杂度为O(n^2),如果是类似这样的三层嵌套，那就是O(n^3)，所以我们容易得出结论：循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

举例3：

int i, j, n = 100;
for( i=0; i < n; i++ )
{
     for( j=i; j < n; j++ )
     {
          printf("Hello World!\n");
     }
}

分析这段代码可知，由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，内循环则执行了n-1次......当i=n-1时，内循环执行1次，所以总的执行次数应该是：n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n*(n+1)/2,因式分解n*(n+1)/2 = n^2/2 + n/2，再根据推导大O的方法，式子中没有常数项，第一条忽略。根据第二条只保留最高项，所以n/2这项去掉，式子只剩下n^2/2。再根据第三条，去除与最高项相乘的常数，即去掉1/2，最终得到这段代码的时间复杂度O(n^2)。

对数阶

int i = 1, n = 100;
while( i < n )
{
     i = i * 2;
}

由于每次i*2之后，就距离n更进了一步，这里我们假设，有X个2相乘之后刚好大于或等于n，此时，循环就会退出。于是我们由2^X = n得到 X = log(2)n，所以这段代码的时间复杂度为O(logn)。