Necklace UVA - 11255

最新推荐文章于 2020-10-19 15:27:30 发布

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分类专栏： Polya定理burnside定理

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本文介绍了一种基于Burnside定理的手串排列计数算法，通过计算在不同操作（如旋转和翻转）下的不变点数量来解决给定数量黑色、灰色、白色珠子形成的独特手串数量问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给定特定个数的黑色，灰色，白色珠子形成一个手串，手串可以翻转，旋转

思路：

利用burnside定理，计算各种置换群下的不动点个数

旋转：

gcd计算循环节个数，得倒每个的循环节长度，

反转：

分开奇偶，对称轴

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using  namespace std;
int a,b,c;
ll C[45][45];
void init()
{
    for(ll i=0;i<42;i++)
	for(ll j=0;j<=i;j++)
	if(i==j||j==0) C[i][j]=1;
	else C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];	
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll cs(int k,int aa,int bb,int cc)
{
	int n=0;
	if(aa%k!=0) return 0;
	else 
	{
		aa/=k;
		n+=aa;
	}
	if(bb%k!=0) return 0;
	else 
	{
		bb/=k;
		n+=bb;
	}
	if(cc%k!=0) return 0;
	else 
	{
		cc/=k;
		n+=cc;
	}

	return C[n][aa]*C[n-aa][bb]*C[n-aa-bb][cc];
	
}

ll solve()
{
	
	ll s=a+b+c;
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<s;i++)
		ans+=cs(s/gcd(s,i),a,b,c);
		
	if(s&1)
	{
		if(a>=1) ans+=s*cs(2,a-1,b,c);
		if(b>=1) ans+=s*cs(2,a,b-1,c);
		if(c>=1) ans+=s*cs(2,a,b,c-1);
	}
	else
	{
		ans+=(s/2)*cs(2,a,b,c);
		if(a>=1&&b>=1) ans+=(s)*cs(2,a-1,b-1,c);
		if(b>=1&&c>=1) ans+=(s)*cs(2,a,b-1,c-1);
		if(c>=1&&a>=1) ans+=(s)*cs(2,a-1,b,c-1);
		if(a>=2) ans+=(s/2)*cs(2,a-2,b,c);
		if(b>=2) ans+=(s/2)*cs(2,a,b-2,c);
		if(c>=2) ans+=(s/2)*cs(2,a,b,c-2);
		
	}
	
	return ans/2/s;
}

int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	init();
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		printf("%lld\n",solve());
	}
	return 0;
}