uva11255 - Necklace

原创于 2019-03-02 21:49:07 发布 · 476 阅读

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本文介绍了一种在算法竞赛中解决图形对称性和计数问题的有效方法——Burnside引理。通过实例讲解了如何利用该引理处理包含旋转和翻转操作的置换群，进而计算图形的不动点数目。文章提供了详细的代码实现，适用于竞赛中的快速解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2222

题解

直接用burnside引理
置换群包含了旋转和翻转操作
分奇数偶数讨论一下，分别用组合数算一算不动点的数目就好了

代码

//polya
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100
using namespace std;
typedef long long ll;
ll C[maxn][maxn], N;
ll read(ll x=0)
{
	ll c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
	return f*x;
}
void init()
{
	ll i, j;
	for(i=0;i<maxn;i++)C[i][0]=1;
	for(i=1;i<maxn;i++)for(j=1;j<=i;j++)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
}
ll calc(ll size, ll a, ll b, ll c)
{
	ll i;
	if(a%size!=0 or b%size!=0 or c%size!=0)return 0;
	a/=size, b/=size, c/=size;
	return C[a+b+c][a]*C[b+c][b];
}
ll gcd(ll a, ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
	ll ans, a, b, c, n, i;
	init();
	N=read();
	while(N--)
	{
		a=read(), b=read(), c=read();
		n=a+b+c;
		ans=0;
		for(i=0;i<n;i++)ans+=calc(n/gcd(i,n),a,b,c);
		if(n&1)
		{
			if(a)ans+=n*calc(2,a-1,b,c);
			if(b)ans+=n*calc(2,a,b-1,c);
			if(c)ans+=n*calc(2,a,b,c-1);
			ans/=2*n;
		}
		else
		{
			ans+=n/2*calc(2,a,b,c);
			if(a and b)ans+=n*calc(2,a-1,b-1,c);
			if(a and c)ans+=n*calc(2,a-1,b,c-1);
			if(b and c)ans+=n*calc(2,a,b-1,c-1);
			if(a>1)ans+=n/2*calc(2,a-2,b,c);
			if(b>1)ans+=n/2*calc(2,a,b-2,c);
			if(c>1)ans+=n/2*calc(2,a,b,c-2);
			ans/=2*n;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}