spoj 7001 Visible Lattice Points

最新推荐文章于 2019-11-23 17:20:13 发布

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分类专栏：莫比乌斯文章标签：数学数论莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a7f650ebd327889c/article/details/76850332

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本文介绍了一道关于三维可见格点的问题，并深入探讨了使用莫比乌斯函数简化复杂容斥原理的方法。通过具体的代码示例，展示了如何利用莫比乌斯反演求解特定数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

Visible Lattice Points POJ - 3090的三维版本

思路：

通过这个题目对莫比乌斯有了更深的认识，

比方说最原始的那个题目：100以内5的倍数，3的倍数，2的倍数，有些时候就像这个一样得倒单纯的2的倍数是很麻烦的容斥原理，但是莫比乌斯函数就是在很轻松的模拟容斥

这个题目得到gcd(x,y,z)=1是很麻烦的，但是就像莫比乌斯反演的F(n)是很容易得到的 (除法就行) ， gcd( (n/a1)*k, (n/a2)*k,(n/a3)*k)一定是k的倍数，

但是得到的却是k* ( gcd( (n/a1) , (n/a2) , (n/a3) ) ) , F(1)=sigma card(k*(gcd((n/a1),(n/a2),(n/a3) ) ) );

这里就仿佛 100中有50个2的倍数，但其实里面参杂了3，5，7的倍数

通过莫比乌斯函数这种方便的容斥，很快就把单纯的 f(gcd(x,y,z)=k)给分离出来，这里我们的k是1

这里要注意一下gcd(0,a,b)=gcd(a,b) gcd(0，0，a）=a

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAXN=1000000;
bool check[MAXN+10]; 
int prime[MAXN+10]; 
int mu[MAXN+10]; 
void init() 
{ 
    memset(check,false,sizeof(check)); 
    mu[1] = 1; 
    int tot = 0; 
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++) 
    { 
        if( !check[i] ) 
        { 
            prime[tot++] = i; 
            mu[i] = -1; 
        } 
        for(int j = 0; j < tot; j++) 
        { 
            if(i * prime[j] > MAXN) break; 
            check[i * prime[j]] = true; 
            if( i % prime[j] == 0) 
            { 
                mu[i * prime[j]] = 0; 
                break; 
            } 
            else 
            { 
                mu[i * prime[j]] = -mu[i]; 
            } 
        } 
    } 
} 
int main()
{

	int t,n;
	init();
	scanf("%d",&t);
while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		  long long ans=3;
         for(int i=1;i<=n;i++)
          ans+=(long long)mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3);  //莫比乌斯反演  F(i)=(n/i)*(n/i)*(n/i+3)   f(i)=sigma F(k*i);
        printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}