SPOJ 7001 VLATTICE - Visible Lattice Points（莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2020-04-27 15:03:31 发布

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分类专栏： SPOJ 莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一种计算三维空间中通过原点且不平行于坐标轴的唯一直线数量的方法。该方法分为三种情况讨论，并利用莫比乌斯函数进行优化。最终通过编程实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
求经过坐标(0,0,0)和另外任意一个点(x1,y1,z1)的不同的直线有多少条(0<=x1,y1,z1<=n)
Input
第一行为一整数T表示用例组数，每组用例占一行为一整数n(T<=50,1<=n<=1000000)
Output
对于每组用例，输出经过坐标(0,0,0)和另外任意一个点(x1,y1,z1)的不同的直线有多少条
Sample Input
3
1
2
5
Sample Output
7
19
175
Solution
3种情况
1. x1,y1,z1都大于等于1，问题变成求1<=x<=n,1<=y<=n,1<=z<=n,gcd(x,y,z)=1的三元组有多少对
2. x1,y1,z1中有1个为0，问题退化成2维的互质问题了
3. x1,y1,z1中有2个为0，只有三个坐标轴满足
所以答案就是3+3*f(n,n)+g(n,n,n)
其中f(a,b)表示1<=i<=a,1<=j<=b,gcd(i,j)=1的(i,j)对数
g(a,b,c)表示1<=i<=a,1<=j<=b,1<=k<=c,gcd(i,j,k)=1的(i,j,k)对数
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1111111 
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
bool check[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn],sum[maxn];
void Moblus(int n)
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<maxn-10;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
ll f(int a,int b)
{
    if(a>b)swap(a,b);
    ll ans=0;
    for(int i=1,next=0;i<=a;i=next+1)
    {
        next=min(a/(a/i),b/(b/i));
        ans+=1ll*(a/i)*(b/i)*(sum[next]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}
ll g(int a,int b,int c)
{
    if(a>b)swap(a,b);
    if(a>c)swap(a,c);
    ll ans=0;
    for(int i=1,next=0;i<=a;i=next+1)
    {
        next=min(a/(a/i),min(b/(b/i),c/(c/i)));
        ans+=1ll*(a/i)*(b/i)*(c/i)*(sum[next]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    Moblus(maxn-10);
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ll ans=3+3*f(n,n)+g(n,n,n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}