动态规划与背包问题

参考文章：https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html

利用动态规划找到背包问题的最优解

number:物品的数量
capacoty:背包的容量
v:物品的价值
w:物品的重量
V[number][capacity]：是一个二维表
最后找到的最大值在：V[number][capacity]中

void FindMax()//动态规划
{
    //最后找到的最大值在：V[number][capacity]中
    int i, j;
    //填表
    for (i = 1; i <= number; i++)
    {
        for (j = 1; j <= capacity; j++)
        {
            if (j<w[i])//包装不进
            {
                V[i][j] = V[i - 1][j];
            }
            else//能装
            {
                if (V[i - 1][j]>V[i - 1][j - w[i]] + v[i])//不装价值大
                {
                    V[i][j] = V[i - 1][j];
                }
                else//前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
                {
                    V[i][j] = V[i - 1][j - w[i]] + v[i];
                }
            }
        }
    }
}

通过回溯法找到是哪些商品构成了最优解

//i，j为最优解的位置
void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
    if(i>=0)
    {
        if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等说明没装
        {
            item[i]=0;//全局变量，标记未被选中
            FindWhat(i-1,j);
        }
        else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
        {
            item[i]=1;//标记已被选中
            FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
        }
    }
}

空间优化版（二维数组变一维数组）【无法回溯】

void FindMaxPro() {
//B定义数组并分配空间即可，无需进行赋值
    int i, j;
    //填表
    for (i = 1; i <= number; i++)
    {
        for (j = capacity; j >= 0; j--)
        {
            if (j >= w[i]) {
                B[j] = max(B[j],B[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }
}