LightOJ1038-Race to 1 Again

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本文介绍了一种解决整数转换为1的数学期望步数问题的方法，通过预计算每个整数到1的期望转换步骤，利用动态规划思想实现了高效的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Race to 1 Again

题意：任何一个大于1的整数，经过若干次除以自己的因子之后可以变为1，求该变换字数的数学期望值。

解题思路：d[i] 代表从ｉ除到1的期望步数；那么假设ｉ一共有ｃ个因子（包括１和本身）

d[i] = ( d[1] + d[a2] + d[a3] + d[a4] ..... + d[i] + c) / c; 化简后：( (c - 1) / c ) * d[i] = ( d[1] + d[a2] + d[a3] + d[a4] ..... + d[ac- 1] + c) / c。那么d[i]就等于所有因子的期望和加上ｃ再除以ｃ-１。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <bitset>
#include <stack>
#include <map>
#include <climits>
#include <functional>

using namespace std;

#define LL long long
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;

double dp[100009];

void init()
{
    dp[1]=0;
    for(int i = 2; i <= 100005; i++)
    {
        double sum=0;
        int cnt=0;
        for(int j=1;j*j<=i;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                cnt++;
                sum+=dp[j];
                if(j*j!=i)
                {
                    cnt++;
                    sum+=dp[i/j];
                }
            }
        }
        dp[i]=1.0*(sum+cnt)/(cnt-1);
    }
}

int main()
{
    int t,n,cas=0;
    init();
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %.10lf\n",++cas,dp[n]);
    }
    return 0;
}