hdu 1792 A New Change Problem 剩余系

最新推荐文章于 2024-07-20 14:45:00 发布

knownothing

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分类专栏：数论* 文章标签：剩余系

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本文深入解读了一道编程题目的解答过程，重点在于利用组合数学中的余数性质解决实际问题。通过分析题目条件，作者揭示了如何通过最大值和次最优值的组合来求解复杂情况，提供了从理论到实践的完整解析，帮助读者理解并解决类似问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL __int64
int main()
{
    int m,n;
    while(cin>>m>>n)
    {
        cout<<(m-1)*n-m<<" "<<(n-1)*(m-1)/2<<endl;
    }
    return 0;
}

看了三篇这道题的解释，一样的、。不知道谁看谁的。。我还看不太懂，最后只有自己理解了。。有点混乱，凑合着就好

由于gcd(m,n)=1,所以 0,n,2*n,3*n,...(m-1)*n，对m作除，余数肯定不同，且为{0,1,2,3...m-1}中的某数

若存在非负数p，q使得pm+qn=x,则x为可组合值，两边对m取余，则(q*n)%m==x%m,p*m>=0,所以只要x比q*n大的数
都能被组合。由于q<m时，就能出现所有余数，所以当x>=(m-1)*n时就必定可组合。
从(m-1)*n往下寻找，第二大q*n是(m-2)*n=(m-1)*n-n,由于,m,n顺序无关，所以就令m<n.则只要比(m-1)*n-n大的且
不与(m-1)*n同余的数都符合要求。(m-1)*n,(m-1)*n-1,...(m-1)*n-(m-1),都符合要求，只有(m-1)*n-m>(m-2)*n,且同余，
**在m>n的情况下，由于对于q*n相邻m-1个必定不同余，所以结果一样。

所以最大的不符合数是(m-1)*n-m

再讨论不符合要求的方案数：
从大到小讨论q*n。m>n
对于(m-1)*n，不符合要求的就是，比(m-1)*n小且与它同余的数，就是(m-1)*n-m,(m-1)*n-2*m...
对于(m-2)*n，不符合要求的就是,(m-2)*n-m,(m-2)*n-2*m...
。。。
对于n，不符合要求的就是，n-m...
所以ans=n/m+(2*n)/m+(3*n)/m...+((m-1)*n)/m=(m-1)*(n-1)/2;(前式除法是取整的，不一定整除)
why?
对于n*m/m=n，这个是整除的，所以(i*n+(m-i)*n)/m=n;由于i*n/m必定不整除，所以i*n%m+(m-i)*n%m=m;
因而(i*n)/m+((m-i)*n)/m=n-1，得出：
ans=n/m+(2*n)/m+...((m-1)*n)/m=(n/m+(m-1)*n/m)+(2*n/m+(m-2)*n/m)+...=(n-1)*(m-1)/2