hdu 4658 Integer Partition 整数划分+生成函数

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#整数划分 #生成函数

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整数划分

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本文探讨了如何利用五边形数定理解决整数划分问题，详细介绍了生成函数的原理及在限制条件下求解的方法。

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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int f[100010];
void init()
{
    f[0]=1;
    int i,j,k,flag,t,tt;
    for(i=1;i<=100000;i++)
    {
        f[i]=0;
        flag=1;
        for(j=1;;j++)
        {
            t=i-j*(3*j-1)/2;
            tt=i-j*(3*j+1)/2;
            if(t<0)break;
            f[i]=(f[i]+flag*f[t])%mod;
            if(tt<0)break;
            f[i]=(f[i]+flag*f[tt])%mod;
            flag=-flag;
        }
        f[i]=(f[i]+mod)%mod;
    }
}
int find(int n,int k)
{
    int i,j,ans,flag=-1,t,tt;
    ans=f[n];
    for(i=1;;i++)
    {
        t=k*i*(i*3-1)/2;
        tt=k*i*(i*3+1)/2;
        if(t>n)break;
        ans=(ans+flag*f[n-t])%mod;
        if(tt>n)break;
        ans=(ans+flag*f[n-tt])%mod;
        flag=-flag;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}
int main()
{
    init();
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n,k,ans;
        scanf("%d%d",&n,&k);//T很大，不要用cin和cout
        ans=find(n,k) ;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

将n拆分成多个正整数之和，问有多少种拆法？
如5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+1+3=1+4=5=1+2+2=2+3.共7种

方法：
直接公式：f[n]=∑(-1)^(k-1)*(f[n-k*(3*k-1)/2]+f[n-k*(3*k+1)/2])
其中n-k*(3*k-1)/2>=0,n-k*(3*k+1)/2>=0；
注意两个条件要分开判断，有大于0的就加上相应的f，不是两个同时成立或者不成立

以上是求的是无限制的整数划分

本题要求，拆分出来的整数中，任意整数都不能出现k次或k次以上，因而需要用公式的推导原理——生成函数来求
生成函数的详细说明请去百度百科或者维基百科查看，这里只简要说明下：
生成函数（也有叫做“母函数”的）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。
这题用到的1+x+x^2+...，f[n]就是全由1组成的n有多少种，显然是1.类似的1+x^2+x^4+..表示的就是全部由2组成，
两者相乘的意义就在于(1+x+x^2)*(1+x^2)=1+x+2*x^2+x^3+x^4,其中x^2系数2表示拆分整数2的方案数，2=1+1=2,共2种

所以无限制的拆分就可以理解成(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+..)*..*(1+x^k+x^2k+...)*..中x^n的系数就是所求值
这题加了k的限制，所以得到的生成函数式：
(1+x+x^2+...+x^(k-1))*(1+x^2+x^4+x^2(k-1))*...(每个括号内斗是等比数列求和)
=(1-x^k)/(1-x)*(1-x^2k)/(1-x^2)*(1-x^3k)/(1-x^3)...（令y=x^k）
=∏(1-y^i)/∏(1-x^i)（1<=i<∞）=g[y]/g[x]
∏(1-x^i)形式的可用五边形数定理来求，详细的请百度和谷歌
五边形定理：