49、可处理的输赢游戏与密码功能混淆研究

可处理的输赢游戏与密码功能混淆研究

可处理的输赢游戏相关图论问题

在图论相关的输赢游戏研究中，会遇到不同顶点颜色分类下的图连通性问题。具体分为以下几种情况：
1. 所有顶点属于同一颜色类（设为R） ：要证明存在边 $e = (w_1, w_2) \in E$，使得 $G’ = G \setminus e$ 是强连通的。无论选择哪条边 $e$，定理的条件 (i) 都成立。
2. $|R| = 4$，$|C| = 1$ ：除了证明 $G \setminus e$ 强连通外，还需证明要么 $w_1, w_2 \in R$，要么 $C = {w_2}$。
3. $|R| = 3$，$|C| = 2$ ：需要证明 $G \setminus e$ 强连通，并且 $w_1, w_2 \in R$ 或者 $w_1, w_2 \in C$。

如果不存在移除后能保证图的其余部分强连通的边，那么对于任意边 $e = (u, v) \in E$，要么 $u$ 是 $G \setminus e$ 中的源点，要么 $v$ 是汇点。不失一般性，设 $v$ 是汇点。考虑子图 $G \setminus u$，会出现两种非同构的情况，如图1所示：
|情况|图形描述|
| ---- | ---- |
|情况1|包含顶点 $a$、$b$、$c$、$v$ 的图|
|情况2|包含顶点 $a$、$b$、$c$、$v$ 的图|

对于情况1，因为 $G$ 是强连通的，所以 $(v, u) \in E$ 且至少有 $(u, a)$、$(u, b)$、