47、可解的胜负游戏：区间图与双矩阵游戏的策略与复杂度分析

可解的胜负游戏：区间图与双矩阵游戏的策略与复杂度分析

1. 区间图上捕捉快速劫匪游戏

1.1 游戏基本规则与状态转移

在区间图上的“警察与无限快劫匪”游戏中，存在有效的分割操作。从操场 §(L, R) 分割到 §(L, R′) 或 §(L′, R) 时，会有警察移动和劫匪移动。警察从 (L, R) 移动到 (L, R, L′, R′)，劫匪从 (L, R, L′, R′) 分别移动到 (L, R′) 和 (L′, R)。

1.2 游戏决策算法

通过一般的状态标记算法来决定游戏结果，该算法能为警察找到获胜策略，或者为劫匪找到非输策略。游戏有一个状态有向图 D，它有 (O(n^4)) 个状态和移动。根据引理 1，每个状态的可行性和每个移动的有效性都能在多项式时间内确定，因此一般的组合游戏决策算法能在 D 的大小的多项式时间内运行。

1.3 策略长度分析

最优警察策略最多访问每个状态一次，有 (O(|V_G|^2)) 个警察状态，且每个劫匪状态后跟着一个警察状态。执行任何单个动作需要 (O(n)) 步移动。

1.4 模拟一般警察策略

定理 3 表明，对于区间图 G 和整数 k，k 个警察在“警察与无限快劫匪”游戏中有获胜策略，当且仅当 k 个警察有受限的获胜策略。
- “如果”部分 ：警察可以执行受限获胜策略的动作，动作属性确保动作可行，且劫匪在相应操场内或被捕获。
- “仅当”部分 ：设 S 是 k 个警察的最优（长度方面）获胜策略。可假设该策略从任何状态都能获胜。S 对应的