42、小宽度有序二元决策图可计算性测试的下界

小宽度有序二元决策图可计算性测试的下界

1 引言

我们探讨测试一个函数 $f : {0, 1}^n \to {0, 1}$ 是否可由只读一次的宽度为 2 的有序二元决策图（OBDD）计算的问题，该问题也被称为分支程序。此问题有两种变体：一种是变量必须按固定、已知的顺序出现；另一种是变量可以按任意顺序出现。

在属性测试中，目标是在有限访问对象的情况下，区分具有某一属性的对象和“远离”该属性的对象。这里的对象是布尔函数 $f : {0, 1}^n \to {0, 1}$，我们希望有一个随机算法，若 $f$ 可由只读一次的 OBDD 计算，则以高概率接受 $f$；若 $f$ 与任何 OBDD 在 $\epsilon$ 比例的输入上不一致，则以高概率拒绝 $f$。属性测试算法若根据先前查询的答案选择查询，则为自适应算法；否则为非自适应算法。算法的复杂度是其查询 $f$ 的次数，期望是 $n$ 和 $\epsilon$ 的小函数。

属性测试，特别是布尔函数的测试，有着悠久的历史。过去二十年来，研究人员研究了许多不同函数属性的测试算法，如线性、单调性、独裁性、单项式或 $k$- juntas 等属性，以及是否可以用各种“简洁”形式表示的属性。

OBDD 类在理论计算机科学的许多领域都有研究，特别是在计算学习理论中，与测试有密切联系。通常，一个函数类 $C$ 的适当学习算法的复杂度是测试 $f$ 是否属于 $C$ 或远离 $C$ 所需查询次数的上界，但这个界限往往很弱。

2 宽度为 2 和 3 的 OBDD 测试结果

• 问题变体 ：Ron 和 Tsur 最早研究了测试函数 $f$