25、如何将图切割成多个部分：算法与复杂度分析

如何将图切割成多个部分：算法与复杂度分析

在图论领域，将图切割成多个部分并最大化组件数量是一个重要的问题，本文将深入探讨该问题在不同类型图中的复杂度和求解算法。

1. 问题复杂度概述

• 分裂图情况 ：MAXINUM COMPONENTS 问题在分裂图上是 NP 完全且 W[1] 困难的。并且，除非 NP ⊆∩ε>0BPTIME(2nε)，否则该问题在分裂图上不存在多项式时间近似方案（PTAS）。
• 区间图情况 ：对于区间图，存在高效的求解算法。设 G = (V, E) 是区间图，k 是整数，κ(G, k) 可以在 O(n²k) 时间内找到。
• 有界树宽图情况 ：对于有界树宽的图，我们可以使用动态规划算法。假设输入中包含图的树分解（有多种算法可用于找到图的树分解），设 G = (V, E) 是树宽至多为 w 的图，k 是整数，那么对于所有 0 ≤ k′ ≤ k，κ(G, k′) 可以在 O(nk²(w + 1)w) 时间内找到。

2. 平面图的相关概念与引理

• 平面图的分层 ：
  • 对于平面图 G，我们可以将其顶点分层。所有与外表面相邻的顶点构成第一层 L₁，递归地，移除前 j - 1 层后，与新图外表面相邻的顶点构成第 j 层 Lj (j ≥ 2)。平面图形 G 的所有层的集合记为 L := {L₁, …, Lz}，可以通过稍微修改的广度优先搜索（BFS）算法在线性时间内找到这些层。