16、低失真度量嵌入到恒定维度的研究

低失真度量嵌入到恒定维度的研究

1. 高维数据嵌入的背景与目标

在数据处理中，有时源数据所在空间结构简单，比如具有欧几里得范数 $\ell_2$ 的 $\mathbb{R}^d$ 空间，但维度却极高。即便度量简单，高维度也会使许多算法的运行时间呈指数级增长，这就是所谓的“维度诅咒”。在这种情况下，嵌入的主要目标是降维，将数据映射到低得多的维度空间，即便度量未简化，也能提供显著帮助。

寻找低失真的度量嵌入优质算法并非易事，这一领域既具有明确的实际重要性，又蕴含着数学问题的内在美感。

2. 以往相关研究成果

有限度量空间的嵌入问题长期以来一直是广泛研究的主题，产生了大量成果。以下是一些关于将 $n$ 点度量空间低失真嵌入到 $\ell_d^p$（$d \ll n$）的基本结果回顾：
- Bourgain 定理 ：任何 $n$ 点有限度量空间都能以 $O(\log n)$ 的失真嵌入到欧几里得空间。后来 Linial、London 和 Rabinovich 证明该结果对任意 $p$ 的目标范数 $\ell_p$ 也成立，且目标空间维度最初是指数级的，后被他们和 Matoušek 降至 $O(\log^2 n)$，同时他们还证明了失真的 $\Omega(\log n)$ 下界。Abraham、Bartal 和 Neiman 进一步将目标维度降至 $O(\log n)$，并表明平均失真（而非最坏情况）可达到 $O(1)$。这一系列结果表明，当将一般的 $n$ 点度量空间嵌入到 $\ell_d^p$ 时，随着 $n$ 增大，$d$ 和失真都无法保持有界。
- Johnson - Lindens