15、图论与数据处理中的前沿技术探索

图论与数据处理中的前沿技术探索

1. 列表边着色重配置的改进充分条件

在图论的研究中，列表边着色重配置是一个重要的问题。当考虑特定情况，即 $f_t(e_i) \notin C_{av}(f, e_i, u’)$ 时，我们可以进行如下操作：
- 设 $f’$ 是通过上述方式得到的树 $T$ 的 $L$ - 边着色；若 $f_t(e_i) \in C_{av}(f, e_i, u)$，则令 $f’ = f$。此时，$f_t(e_i) \in C_{av}(f’, e_i, u)$。
- 由于在得到 $f’$ 时，$T \setminus T_{e_j}$ 中的边未被重新着色，所以 $C_{av}(f’, e_i, u’) = C_{av}(f, e_i, u’)$。
- 并且，$f_t(e_i)$ 未被分配给与 $u’$ 相关的任何固定（因此是紧密的）边，且 $T_{e_i}$ 中的所有非紧密边尚未固定。
- 基于这些条件，我们对颜色 $f_t(e_i)$ 和边 $e_i = uu’$ 应用引理 2，得到一个 $L$ - 边着色 $f’‘$，使得 $f’‘(e_i) = f_t(e_i)$，从而可以固定边 $e_i$。

在这个过程中，我们对 $T_{e_i}$ 和 $T_{e_j}$ 子树中的每个非紧密边最多重新着色一次。因此，通过总共重新着色 $O(n)$ 条非固定边，就可以固定边 $e_i$。

我们的多项式时间算法能够正确地固定树 $T$ 中的所有边。要证明在 $f_0$ 和 $f_t$ 之间存在长度为 $O(n^2)$ 的重配置序列，我们可以看到，正如引理 1 和引理 2 中所述，我们的算法通过总共重新着色 $O(n)$ 条边来固定每条