10、子集和重构问题与平面连通支配集问题研究

子集和重构问题与平面连通支配集问题研究

1. 子集和重构相关问题概述

在普通的背包问题中，每个物品不仅有大小，还有利润，我们希望找到一种物品组合，使得总利润至少达到给定的阈值。基于此，有两种背包重构问题：背包重构和最大最小背包重构，它们分别与子集和重构、最大最小子集和重构类似。由于它们是子集和重构问题的推广，所以子集和重构问题的复杂度和不可近似性结果同样适用于它们。不过，能否为最大最小背包重构问题找到多项式时间近似方案（PTAS）仍是一个待解决的问题。

2. 平面连通支配集问题引入

2.1 支配集问题背景

支配集问题是指对于给定的图 (G = (V, E)) 和非负整数 (k)，判断图 (G) 是否存在一个大小不超过 (k) 的支配集。该问题是 NP 完全问题，在自组织网络和投票系统等领域有诸多应用。从参数化复杂度理论的角度看，以 (k) 为参数时，该问题是 W[2] 完全的，因此不太可能是固定参数可解的，也不太可能存在核化算法。

2.2 连通支配集问题及平面连通支配集问题

连通支配集问题是支配集问题的一个变体，它要求支配集所诱导的子图是连通的。该问题同样是 NP 完全问题，在各种网络设计场景中有应用。在一般图上，以解的大小 (k) 为参数时，连通支配集问题也是 W[2] 完全的。但当输入限制为平面图时，就得到了平面连通支配集（PCDS）问题，即对于给定的平面图 (G = (V, E)) 和非负整数 (k)，判断是否存在一个大小不超过 (k) 的子集 (D \subseteq V)，使得 (D) 诱导的图是连通的，并且 (V) 中的每个顶点要么在 (D) 中，要么与 (D) 中的至少一个顶点相邻。