【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第六课 AX=b与列空间、零空间

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

列空间

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给定矩阵$A$，对于$Ax=b$，当$b$满足什么条件时有解？

回忆第二课关于矩阵乘法的内容,$Ax$相乘，$A$为矩阵，$x$为向量，二者相乘的结果可以看做是$A$中col vector的线性组合（linear combination）
第二课链接：http://blog.youkuaiyun.com/a352611/article/details/48603941
显然$Ax$组成了一个空间，我们称之为列空间（column space），当$b$在该空间中时，有解。

零空间

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给定矩阵$A$，对于$Ax=b$，当$b$为零向量(zero vector)时，$x$有什么特点？

很明显，$x$肯定包含零点，那么是否包含其他解？换个角度想：$A$的col vector存在某一个线性组合可以得到零向量的条件是什么？

$A$中某个col vector 可以由其他的col vector线性组合得到，即$A$中的列向量存在线性关系

现在思考另外一个问题$x$会不会也是一个空间？假设$x$是一个空间，取其中二个向量$x_1$和$x_2$，考察加法和乘法：
1.$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0$，满足
2.$A(kx_1)=kAx_1=0$，对$x_2$同理，满足
所以可以知道$x$必定是一个空间，我们称之为零空间。

我们如何区分一个系统是线性或非线性？实际上和空间一样，对于系统$A$，输入$x_1$、$x_2$、$x_1+x_2$、$kx_1$得到输出$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$，如果$y_1+y_2=y_3$且$y_4=ky_1$则称系统$A$为线性系统

和空间一样满足加法和乘法，这就是线性，所以线性系统$A$可以用矩阵表示，输入与输出关系等同于$Ax=y$

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记
http://blog.youkuaiyun.com/suqier1314520/article/details/10287761