欧拉筛与埃氏筛

通过一个题目来学习欧拉筛与埃氏筛。

题目： 

Background

本题已更新，从判断素数改为了查询第 k小的素数。

提示：本题输入输出、运算数据量较大。

• 对于 C++ 语言，如果你使用 cin 来输入输出，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速，同时使用 '\n' 换行输出。
• 对于 Java 语言，使用线性筛并且优化输入输出，也可以在规定时限内通过本题，但是时限可能较紧张。
• 对于 Python 语言，语言性能差异较大，需要使用到 numpy 库的数组以替代列表，且使用埃氏筛法，依然可以在合适的时间和内存消耗下通过本题。

Description

如题，给定一个范围 n，有 q个询问，每次输出第 k 小的素数。

Input

第一行包含两个正整数 n,q，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 q行每行一个正整数 k，表示查询第 k 小的素数。

Output

输出 q行，每行一个正整数表示答案。

Sample 1

Inputcopy	Outputcopy
100 5 1 2 3 4 5	2 3 5 7 11

Hint

【数据范围】
对于 100%的数据，n=108，1≤q≤106，保证查询的素数不大于n。

Data by NaCly_Fish.

解题思路：

本题如果用普通的素数判断方法来解决，一定会超时，我们需要通过筛法来解决这个问题。

欧拉筛（线性筛）和埃氏筛是两种最常用的素数筛法，这两种方法都是围绕着“素数的倍数不是素数”这句话。

欧拉筛：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int primes[10000000], ans = 0;
bool flag[100000000];
void su(int n) 
{
	for (int i = 2; i <= n; i++) { //从2开始遍历到n
		//如果i未被标记，则i是素数，存入primes数组
		if (!flag[i])
			primes[++ans] = i;
		//对于每个i，用已找到的素数primes[j]去标记它们的倍数i*primes[j]为非素数
		for (int j = 1; j <= ans; j++) {
			if (primes[j]*i > n) break;//如果超出给出的范围，那么就退出循环
			flag[primes[j]*i] = 1;//素数的倍数不是素数，进行标记。
			if (i % primes[j] == 0) break;//当i能被primes[j]整除时终止内层循环
		}
	}
}

int main() {
	int n, q, k;
	scanf("%d%d", &n, &q);
	su(n);//调用函数筛出所有素数
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		scanf("%d", &k);
		printf("%d\n", primes[k]);
	}
	return 0;
}

埃氏筛：

本质思想
• 标记非素数：从小到大遍历每个数，如果当前数是素数，则标记它的所有倍数为非素数。
• 筛选方向：通过素数的倍数来筛选合数。

代码及注释如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool flag[100000000];
int primes[100000000];
int cnt = 0;
void su(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; ++i) 
	{
		if (!flag[i]) 
		{
			primes[cnt++] = i;
			if ((long long)i * i <= n) 
			{  // 防止i*i溢出
				for (int j = i * i; j <= n; j += i) 
				{
					flag[j] = 1;
				}
			}
		}
	}
}

int main() 
{
	int n, q, k;
	scanf("%d%d", &n, &q);
	su(n);
	while (q--) 
	{
		scanf("%d", &k);
		printf("%d\n", primes[k - 1]); // 第k小的素数对应primes[k-1]
	}
	return 0;
}

相比于埃氏筛，欧拉筛能处理更大规模的数据，尤其是算法竞赛中卡常数的题目。