欧拉筛和埃氏筛求质因子个数

最新推荐文章于 2024-07-14 17:08:53 发布

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#算法

埃氏筛法简单易懂直接上代码

void solve()
{
   
   
    for(int i=2;i<=20000000;i++)
        if(!test[i])

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专栏目录

一、质因数分解，筛法，求因数个数

lonely_pinna的博客

07-29

1190

int factorize(int x,int p[]) { int cnt=0; for(int i=2;i*i<=x;i++) { while(x%i==0) { p[++cnt]=i; x/=i; } } if(...

[数论]-----欧拉筛法的应用

Berserker____的博客

09-17

866

欧拉筛法众所周知欧拉筛法一般用于在线性时间内筛选出 1~n 范围内的质数，但是在数论问题中欧拉筛法的用途不仅仅是筛素数，它还可以干其他三件事，只不过这些问题被提及的次数比较少。欧拉筛法可以干哪些事呢？求 1~n 之间所有质数求 1~n 之间所有自然数的欧拉函数 φ(x) 求 1~n 之间每个数的因子个数求 1~n 之间每个数的因数和筛质数这个大家应该很熟悉了，这里就写一个关键点吧。欧拉筛法核心思想：每个合数只被自己的最小质因子筛一次。对 i%prime[j]==0 时即跳出循环的解释：

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【埃氏筛】批量求数的因数和，求区间所有数的因数和

WUST_cws的博客

06-13

380

最近这个用的比较多，之前都没写过。 mk一下。 typedef long long ll; ll tb[maxn]; for (int i = 1; i < maxn; i++) { for (int j = i; j < maxn; j += i) { //每次+i保证i是j的因数 tb[j] += i; //记录j的所有因数和 } } for (int i = 1; i < maxn; i++) tb[i] += tb[i-1]; //记录1~i的因数和的前

ABC172 D - Sum of Divisors（欧拉筛求因子个数）

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

04-21

302

题意：解法：欧拉筛O(n*log)计算出每个数的因子数, 然后O(n)计算答案即可. code： #include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; const int maxm=1e7+5; int cnt[maxm]; int n; void solve(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=i;j&lt

欧拉筛--质因数的个数

Handsomk

03-07

467

关键点: 每个合数只被最小的质因数筛掉 int primes[N]; bool st[N]; int cnt = 0; void getPrimes() { for (int i = 2; i < N; i++) { if (!st[i]) primes[++cnt] = i; for (int j = 1; i * primes[j] < N; j++) { //i的质因数肯定比primes[j]大，所以就保证了primes.

【欧拉筛】筛质数洛谷素数个数含代码讲解

wayua的博客

07-14

1494

欧拉线性筛详解，洛谷P3912素数个数含代码讲解

Java实现欧拉筛与花里胡哨求质数高级大法的对比

12-22

总的来说，欧拉筛法是一种高效且实用的求质数算法，适合处理大范围内的质数计算。而“花里胡哨求质数高级大法”，虽然也是一种可行的方法，但在效率上不及欧拉筛，可能更适合小规模的数据处理或者作为教学示例。在...

算法基础入门：质数筛

hua3473489608的博客

11-17

1814

质数筛是一种有效判断一定范围内所有数字是否为质数的算法，常用于信息学竞赛和数论入门等领域。常见的质数筛有埃氏筛、欧拉筛和线性筛等方法。

埃式筛如何快于欧拉筛

10-26

> ✅ 更好的缓存局部性 + ❌ 欧拉筛的条件判断和内存访问更随机 > > ⚠️ 理论复杂度 ≠ 实际性能 --- ## 实测数据对比（$ n = 10^7 $） | 筛法 | 时间（ms） | 内存访问模式 | 缓存命中率 | |------|----------...

7809 - 试题J：因数个数 25'(欧拉筛法求因子个数)

Sun

02-14

869

链接：http://oj.hzjingma.com/p/7809?view=classic 来源：竞码编程题目描述求所有 222 到 nnn 的整数中，因数个数第 kkk 少的数因数个数是多少。输入描述第一行两个正整数 nnn , kkk 即题目描述中的 nnn , kkk 。输出描述输出仅一行，即因数个数第 kkk少的数因数个数。输入 10 5 输出 3 ...

欧拉筛板子求质因子

m0_46744670的博客

09-30

297

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=5e4+1; int prime[maxn],cnt,a[11],num[11]; bool flag[maxn]; int s[maxn]; void sushu() { for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!flag[i]) prime[++cnt] = i; for(int j=1;j<=cnt&&prime

欧拉筛、欧拉函数、欧拉筛求因子个、因子和——模板

做一只熊猫不好吗？

08-04

790

教程讲解欧拉筛 const int N = 1e5 + 10; int prim[N], vis[N], len; inline void eular_shai(int n) // n < N { for(int i = 2;i <= n;i ++) { if(! vis[i]) prim[len ++] = i; for(int j = 0;j < len && i * prim[

查找质因数（埃氏筛打表，判断因子）

人间烟火气，最抚凡人心

12-02

771

#include<cstdio> #include<iostream> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=1e6; ///范围 int tot; ...

【数学的奥秘】线性筛法无水整理版（欧拉筛法+ 质因数个数筛法）

lx233

09-03

861

所谓线性？就像我们的世界是二进制的，数学的世界其实也是由素数组成的一个数，要么是素数，要么是有很多素数相乘组成的，基于这些原理，来介绍和探索欧拉筛法代码：（补充）欧拉筛法之所以达到的是线性是因为被筛除掉的过程唯一而如何达到的唯一其实就是那句break保证的其实就是根本原因是这个世界的数字是由无数个质因数相城而来的筛法的本质就在于用最小的质因数来筛选比如18 ...

欧拉线性筛求n的最小正因数的个数

weixin_45713744的博客

11-02

571

由算术基本定理可得：任何一个大于1的N的自然数，如果N不为质数，可以被分解成有限个质数的乘机，即 n=p1^^^(a1)

九度OJ 1207 质因数的个数（筛素数，勉强AC）

芝兰生于深谷，不以无人而不芳

12-10

2419

1 秒内存限制：32 兆特殊判题：否提交：4466 解决：1375 题目描述：求正整数N(N>1)的质因数的个数。相同的质因数需要重复计算。如120=2*2*2*3*5，共有5个质因数。输入：可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1 输出：对于每组数据，输出N的质因数的个数。样例

质因数个数

MirrorN的博客

04-03

1038

题目描述题目描述求正整数N(N&gt;1)的质因数的个数。相同的质因数需要重复计算。如120=2*2*2*3*5，共有5个质因数。输入描述: 可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1 代码 &amp; 分析最直接的想法：先用素数筛法求出一定范围的素数，然后以此取模等等等： #include&lt;stdio.h&gt; #include&lt;stdlib...

【数论】埃氏筛法

aizhiyan2320的博客

12-26

192

　　这学期的离散数学课程学了一点初等数论，其中的埃氏筛法当时课上没有太懂，课后看了《挑战程序设计竞赛》一书终于弄懂了。（这本书确实很好！算法简洁优美。）　　如果只对一个整数进行素性测试，通常O(√n )的算法就足够了。但如果要对许多整数进行素性测试，则有更为高效的算法，其中就包括埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛法。它是一个与辗转相除法一样古老的算法，可以用于枚举n以内的素数。　　首先...

筛一个数的质因子模板

wrwhahah的博客

08-22

384

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define M(i,x) memset(i,x,sizeof(i)) #define mod 998244353 #define maxn 1000000 LL a[10000], num, t, rc[10000]; void fenjie(LL ...

欧拉筛法和埃氏筛法

最新发布

11-07

欧拉筛法（线性筛）和埃氏筛法（埃拉托斯特尼筛法）都是用于**高效筛选出小于等于某个整数 n 的所有素数**的算法。它们在时间复杂度、实现方式和适用场景上有显著区别。下面我将详细解释两者的原理、C++ 实现，并对比其优劣。 --- ## ✅ 1. 埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes，简称“埃氏筛”） ### 🔍 原理： - 从最小的质数 2 开始，把它的所有倍数（除了自己）标记为合数。 - 然后找下一个未被标记的数，它一定是质数，再将其所有倍数标记为合数。 - 重复此过程直到遍历到 √n。 > ❗ 注意：一个合数可能被多个质因数重复标记（如 12 被 2 和 3 都标记过），这是效率损失的原因。 ### ⏱ 时间复杂度：O(n log log n) ### ✅ 空间复杂度：O(n) ### 📌 C++ 实现： ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; vector<int> sieve_of_eratosthenes(int n) { vector<bool> is_prime(n + 1, true); vector<int> primes; is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { // 标记 i 的所有倍数为非质数 for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = false; } } } // 收集所有质数 for (int i = 2; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); } } return primes; } int main() { int n = 30; vector<int> primes = sieve_of_eratosthenes(n); cout << "Primes up to " << n << ": "; for (int p : primes) { cout << p << " "; } cout << endl; return 0; } ``` --- ## ✅ 2. 欧拉筛法（Euler's Sieve，又称线性筛） ### 🔍 原理： - 维护一个 `primes` 数组记录已知质数。 - 对每个数 i（从 2 到 n），用已知质数去筛掉 `i × primes[j]`。 - **关键优化**：一旦 `primes[j]` 整除 `i`，就停止后续筛除 —— 这保证了每个合数只被它的**最小质因数**筛一次。 > ✅ 因此，每个合数仅被标记一次 → 时间复杂度 O(n) ### ⏱ 时间复杂度：O(n)（线性） ### ✅ 空间复杂度：O(n) ### 📌 C++ 实现： ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; vector<int> euler_sieve(int n) { vector<bool> is_prime(n + 1, true); vector<int> primes; is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); } // 用已知质数去筛合数 for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) { is_prime[i * primes[j]] = false; if (i % primes[j] == 0) { break; // 关键：primes[j] 是 i 的最小质因数 } } } return primes; } int main() { int n = 30; vector<int> primes = euler_sieve(n); cout << "Primes up to " << n << ": "; for (int p : primes) { cout << p << " "; } cout << endl; return 0; } ``` --- ## 🔁 两种筛法的核心区别 | 特性 | 埃氏筛 | 欧拉筛 | |------|--------|--------| | 时间复杂度 | O(n log log n) | O(n)（线性） | | 是否重复标记 | 是（如 12 被 2 和 3 都筛） | 否（每个合数只被最小质因数筛） | | 实现难度 | 简单直观 | 稍复杂，需理解 `i % primes[j] == 0` 的意义 | | 筛的过程中是否收集质数 | 可以 | 必须收集 | | 适合学习阶段 | 初学者 | 中级/进阶 | | 扩展性（如求最小质因数、φ 函数等） | 差 | 强 | --- ## 💡 为什么 `i % primes[j] == 0` 就要 break？假设 `i` 能被 `primes[j]` 整除，说明 `primes[j]` 是 `i` 的一个质因数。那么对于下一个质数 `primes[j+1] > primes[j]`，考虑 `i * primes[j+1]`： - 它的最小质因数其实是 `primes[j]`（因为 `i` 包含 `primes[j]`） - 所以应该由 `primes[j]` 来筛掉它，而不是现在就筛 👉 提前 break 可避免重复筛，确保线性复杂度。 --- ## ✅ 示例输出（n=30）： ``` Primes up to 30: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 ``` 两者输出一致，但欧拉筛更快更高效。 ---