判断素数方法

素数的定义

素数（质数）是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。

方法一：暴力枚举法

这是最简单直接的方法，对于一个数 n，从 2 到 n-1 逐一检查是否能整除 n，若都不能整除，则 n 是素数。

#include <iostream> 
 
// 判断素数的函数 
bool isPrime(int n) { 
    if (n <= 1) return false; 
    for (int i = 2; i < n; ++i) { 
        if (n % i == 0) { 
            return false; 
        } 
    } 
    return true; 
} 
 
int main() { 
    int num = 17; 
    if (isPrime(num)) { 
        std::cout << num << " 是素数。" << std::endl; 
    } else { 
        std::cout << num << " 不是素数。" << std::endl; 
    } 
    return 0; 
} 

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)，其中 �n 是待判断的数。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级的额外空间。

方法二：优化的暴力枚举法

实际上，只需要检查从 2 到 n​ 的数是否能整除 n 即可。因为如果 n 不是素数，那么它一定可以分解为两个因数 a 和 b，其中 �≤�a≤n​ 且 �≥�b≥n​。【符号处理的不好，大家将就着看哈】

#include <iostream> 
#include <cmath> 
 
// 判断素数的函数 
bool isPrime(int n) { 
    if (n <= 1) return false; 
    int limit = std::sqrt(n); 
    for (int i = 2; i <= limit; ++i) { 
        if (n % i == 0) { 
            return false; 
        } 
    } 
    return true; 
} 
 
int main() { 
    int num = 17; 
    if (isPrime(num)) { 
        std::cout << num << " 是素数。" << std::endl; 
    } else { 
        std::cout << num << " 不是素数。" << std::endl; 
    } 
    return 0; 
} 

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n​)，其中 n 是待判断的数。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级的额外空间。

方法三：埃拉托斯特尼筛法（用于判断多个数是否为素数）

如果需要判断多个数是否为素数，可以使用埃拉托斯特尼筛法预先计算出一定范围内的所有素数。

#include <iostream> 
#include <vector> 
 
// 生成素数表 
std::vector<bool> sieveOfEratosthenes(int n) { 
    std::vector<bool> isPrime(n + 1, true); 
    isPrime[0] = isPrime[1] = false; 
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) { 
        if (isPrime[i]) { 
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) { 
                isPrime[j] = false; 
            } 
        } 
    } 
    return isPrime; 
} 
 
int main() { 
    int limit = 20; 
    std::vector<bool> primeTable = sieveOfEratosthenes(limit); 
    for (int i = 0; i <= limit; ++i) { 
        if (primeTable[i]) { 
            std::cout << i << " 是素数。" << std::endl; 
        } else { 
            std::cout << i << " 不是素数。" << std::endl; 
        } 
    } 
    return 0; 
} 

• 时间复杂度：O(nloglogn)，其中 n 是筛法的上限。
• 空间复杂度：O(n)，主要用于存储素数表。