POI EST 题解

[题目描述]

         我们手中一共有n个句子，现在要按顺序排成若干行，同一行相邻两句子用一个空格空开，任一行的长度不允许超过m，定义一个不和谐度为相邻两行长度的绝对值之差，我们的目标是使不和谐度最小。

[题解]

      显然,这道题是一个经典的DP模型.状态有几种设计方法,我设计的状态是F[i,j]表示从1到j,第i+1个到第j个合并的最小代价.

      DP方程:F[i,j]=MIN(F[k,i]+|g[j]+g[k]-2*g[i]|);其中,si是前缀和,gi=si+i.

      这道题的瓶颈就在绝对值.如果去掉绝对值那么可以记下最优值直接用O(n^2)的方法做出来.

      为了消除绝对值的影响,我们要分情况讨论.

      首先,一个显然的结论是:G[j]-g[i]随j单调递增,G[i]-G[k]随k单调递减.这样,如果我们确定了一个i,j从小往大扫,那么正负的分界线也会不断的向一个方向移动.

      如果只考虑g[k]+g[k]-2*g[i]大于0的情况.我们发现,k的取值范围是随着j的变化单调的.这样,我们就可以利用单调队列维护这种情况的最优值.另外一种情况也是类似的.

Code:

program st;
type int=longint;point=^int;
const max=maxlongint>>1;
var
        i,j,k,p,q,m,n:int;y:point;
        f,x,up:array[0..2000,0..2000]of int;
        s,g,a,pu,qu,qq:array[0..2000]of int;

procedure dp;
begin
        for i:=1 to n do if g[i]-1>m then f[0,i]:=max;
        for i:=1 to n do begin
                pu[i]:=1;qu[i]:=1;
        end;
        qu[1]:=0;
        for i:=1 to n do begin
                p:=1;q:=0;
                for j:=i-1 downto 0 do begin
                        while(p<=q)and(f[qq[q],i]-x[qq[q],i]>f[j,i]-x[j,i])do dec(q);
                        inc(q);qq[q]:=j;
                end;
                {Get Down In}
                for j:=i+1 to n do if(g[j]-g[i]-1<=m)then begin
                        while(p<=q)and(g[j]+x[qq[p],i]>0)do inc(p);
                        {Delete Down}
                        while(qu[i]>pu[i])and(g[j]+x[up[i,qu[i]-1],i]>0)do dec(qu[i]);
                        {Delete Up}
                        if(p<=q)then f[i,j]:=f[qq[p],i]+abs(g[j]+x[qq[p],i])
                                else f[i,j]:=max;
                        k:=f[up[i,qu[i]],i]+abs(g[j]+x[up[i,qu[i]],i]);
                        if k<f[i,j]then f[i,j]:=k;
                        {Get Fi,j}
                        y:=@qu[j];
                        while(y^<>0)and(f[ up[j,y^] ,j]+x[ up[j,y^] ,j]>f[i,j]+x[i,j])
                                do dec(y^);
                        inc(qu[j]);up[j,qu[j]]:=i;
                        {GetIn Up}
                end else f[i,j]:=max;
                write();
        end;
        k:=max;
        for i:=0 to n-1 do if f[i,n]<k then k:=f[i,n];
        write(k);
end;

begin
        assign(input,'st.in');reset(input);
        assign(output,'st.out');rewrite(output);
        read(m,n);
        for i:=1 to n do read(a[i]);
        for i:=1 to n do begin s[i]:=s[i-1]+a[i];g[i]:=s[i]+i;end;
        for i:=0 to n do
                for j:=0 to n do x[i,j]:=g[i]-g[j]<<1;
        dp;
        close(output);
end.

BY QW

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