关于欧拉筛

背景：现在你需要尽快地找出1~n中的所有素数

0.1

一个朴素的想法，对于1到n中的i，我们从2~（i-1）遍历，如果在这之中找到了i的因子，i就不是素数

0.2

实际上，我们并不需要从2~（n-1）遍历，假设（m<n），那么一个合数i必然能写成m*n=i的形式，并且你发现m<=sqrt(i)<=n,也就是说，如果没有在sqrt(i)之前找到i的因子，sqrt(i)之后也不会有i的因子

0.3

看起来不错，可是对于每一个i，我们都需要做以上（0.2）的遍历，于是有了埃氏筛（每一个合数都有最小的质因子，那么我们就可以利用已经找到的素数，把这个素数的倍数筛去）

1.埃氏筛

#include <stdio.h>  
#include <stdbool.h> 

  
int main() {  
    bool Isprime[1000]={0}; //假设所有都是素数，好处就是不用再遍历赋值为1了
    int n,cnt=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(~Isprime[i]){//素数赋值为0的后果
            for(int k=2;;k++){
                Isprime[k*i]=1;
                if(k*i>=n) break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){//先排除0和1了，为了让i就对应具体的素数
        if(Isprime[i]==0) cnt++;
    }
    printf("%d",cnt);
    return 0;  
}

2.欧拉筛

不过虽然埃氏筛可以减少遍历个数，但是会存在反复标记合数的问题，于是我们引入欧拉筛，旨在规避反复标记的问题，即对于每个合数只能被它的最小质因子标记

如果要排除出从1~n的所有合数，我们模拟一下这种情形

假设现在遍历到i了，如果i是一个合数，那么i的质因子一定在2~i中，记为Pi，

对于Pi之前的所有质数Pj，有Pj*i=k，那么Pj一定是k的最小质因子，因为i的最小质因子为Pi>Pj，

同样的，对于Pi之后的素数Pn，若Pn*i=q，那么q的最小质因子一定不是Pn，这与欧拉筛的初宗相悖

也就是说，我们需要在素数遍历到Pi时，结束遍历

#include <stdio.h>  
#include <stdbool.h> 

  
int main() {  
    bool Ifprime[1000]={0}; //假设所有都是素数，好处就是不用再遍历赋值为1了
    int Isprime[1000];
    int n,cnt=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(Ifprime[i]==0){//素数赋值为0的后果
            Isprime[++cnt]=i;
            //Isprime[cnt++]=i;
            //这是笔者最初的版本，后果就是cnt领先于目前的素数数目
            //导致后面除数为0
            for(int k=1;k<=cnt;k++){
                if(Isprime[k]*i<=n)
                Ifprime[i*Isprime[k]]=1;
                else break;
                if(i%Isprime[k]==0) break;
            }
        }
    }
    printf("%d",cnt);
    return 0;  
}