幂方分解(递归)

算法训练 幂方分解  
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问题描述
  任何一个正整数都可以用2的幂次方表示。例如:
  137=27+23+2
  同时约定方次用括号来表示,即ab 可表示为a(b)。
  由此可知,137可表示为:
  2(7)+2(3)+2(0)
  进一步:7= 22+2+2(21用2表示)
  3=2+2
  所以最后137可表示为:
  2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)
  又如:
  1315=210 +28 +25 +2+1
  所以1315最后可表示为:
  2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)
输入格式
  输入包含一个正整数N(N<=20000),为要求分解的整数。
输出格式
  程序输出包含一行字符串,为符合约定的n的0,2表示(在表示中不能有空格)
我很喜欢这样的递归
# include <stdio.h>
int c[16]={1,   2,   4,    8,    16,   32,   64,    128,
           256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768};
void f(int n)
{
    if (n==0)
    {
        printf("2(0)");
        return ;
    }   
    if (n==1)
    {
        printf("2");
        return ;
    }
    if (n==2)
    {
        printf("2(2)");
        return ;
    }
}       
int fenJie(int n)
{
    int h;
    int i;
    for (i=1; i<=15; i++)
    {
        if (n<c[i])
        {
            h = i;
            break;
        }
    }
    return h-1; 
}
void digui(int n)
{   
    int t;
    while (n)
    {
        t = fenJie(n);
        if (t > 2)
        {
            printf("2(");
            digui(t);
        }   
        f(t);
        n -= c[t];
        if (n!=0 && t<=2)
            printf("+");
        if (t > 2)
        {
            if (n==0)
                printf(")");    
            else
                printf(")+");   
        }           
    }   
}
int main()
{   
    int t;
    int n;
    scanf("%d", &n);
    digui(n);
        
    return 0;
}



### 快速算法在递归中的应用及实现 快速算法的核心在于利用指数的二分性质降低计算复杂度,从而将原本线性的 $O(n)$ 运算时间优化到对数级的 $O(\log n)$ 时间[^2]。这种技术不仅适用于普通的数值运算,还可以扩展至矩阵运算以及其他涉及重复乘法操作的领域。 #### 1. 基本原理 假设需要计算 $a^n$ 的值,在传统法中会执行 $n-1$ 次乘法操作。而快速则通过观察如下规律来减少不必要的计算: $$ a^{n} = \begin{cases} (a^{\frac{n}{2}})^2 & \text{如果 } n \text{ 是偶数}, \\ a \cdot (a^{\frac{n-1}{2}})^2 & \text{如果 } n \text{ 是奇数}. \end{cases} $$ 这种法可以显著减少所需的乘法次数。 #### 2. Python 实现:递归版本 以下是基于上述公式的递归实现代码示例: ```python def fast_power(base, exponent): if exponent == 0: return 1 elif exponent % 2 == 0: half = fast_power(base, exponent // 2) return half * half else: half = fast_power(base, (exponent - 1) // 2) return base * half * half ``` 此函数首先判断当前指数是否为零;如果是,则返回 1(任何数的零次都等于 1)。对于非零情况,进一步区分指数是奇数还是偶数,并按照前述公式进行分解和组合[^4]。 #### 3. 应用场景分析 快速不仅可以用于简单的整数运算,还能够处理更复杂的数学结构上的运算问题,比如 **矩阵快速** 和 **模运算** 中都有广泛应用[^3]。特别是在密码学领域内的 RSA 加密算法以及 Diffie-Hellman 密钥交换协议里,都需要依赖于高效的模运算能力。 --- ###
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