两个不同时为0的整数a,b的公约数中最大的称为其最大公约数,记作gcd(a,b).关于他的定理有很多,不一一说明.
若gcd(a,b)=1,则称a,b互质.这样的话,求互质的思路就很清晰了.
正式入题:
求最大公约数的算法有很多种,以下简单列举几种:
一:辗转取余
int gcd(int n,int m){//最大公约数
int i=0;
while(m!=0){
i=n%m;
n=m;
m=i;
}
return n;
}
二:递归
long long gcd(long long a, long long b){
long long tmp = a % b;
if(tmp == 0){
return b;
}
return gcd(b, tmp);
}
这 两种方法都是基于欧几里得算法
EUCLID(a,b)
if b==0
return a
else return EUCLID(b,a mod b)
最后我们以一个杭电题目为例,练练手.

欧几里得算法固然可以解决,但是缺点显而易见.递归吃内存,二者都会超出时间限制

难道就没有解决办法了吗?
欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的数的数目.
我们首先应该要知道欧拉函数的通项公式:φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中pi为n的质因数.
φ(n)表示从1~n-1中有多少个数与n互素.
AC代码:
#include <iostream>
using namespace std;
int euler(int n)//欧拉函数,新朋友肯定是与会长的编号(N)互质的数
{
int res=n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1) res=res/n*(n-1);
return res;
}
int main(int argc, char** argv)
{
int m;
cin>>m;
while(m--){
int n;
cin>>n;
cout<<euler(n)<<endl;
}
return 0;
}
最后:一个gcd的应用.
最小公倍数
//求最小公倍数
long long lcm(long long a, long long b){
return (a * b) / gcd(a, b);
}
参考文献 算法导论第三版