完全二分图的最大权完美匹配 KM算法

         最近在切二分匹配的题目，以前只学了点概念，趁现在有时间仔细得学下，下午和晚上花了几个小时学了KM算法，开始比较难理解，看了lrj的ppt后，有点明白了，现在整理下，以便记住。

        概念：

                 lx（u），ly（v）分别表示左右两边的顶点顶标，即每一个点的值，这里有lx（u）+ly（v）>=w（u，v），选值时可令ly（v）=0,lx（u）为邻边权值最大的一个值。

                相等子图：G的生成子图，仅包含满足lx（u）+ly（v）==w（u，v）的边（所以叫相等，我是这样理解的）

                定理：如果相等子图有完美匹配，则该匹配是原图的最大匹配。(证明可以去搜刘汝佳的ppt)

                思想：选定顶点的顶标，寻找相等子图的完美匹配，若找到，则终止算法，否则更新顶标，使更多的边满足lx（u）+ly（v）==w（u，v）；循环直到算法终止。

                一下是一个在网上找的代码以及个人的解析分享下（若有错误，谢谢指出）：

               

#define INF 0x3f3f3f
cosnt int Max =1024;
int n;   //顶点数
int w[Max][Max];
int lx[Max],ly[Max];
bool sx[Max],sy[Max];  //标记x，y
int mat[Max];          //匹配
bool path(int u)       //寻找u的匹配，找增广路，基本和匈牙利的差不多
{
   sx[u]=true;
   for(int v=0;v<n;v++)
       if(!sy[v]&&lx[u]+ly[v]==w[u][v])    //判断条件，是否满足lx[u]+ly[v]=w[u][v]
        {
            sy[v]=true;
            if(mat[v]==-1||path(mat[v]))
             {
                  mat[v]=u;
                  return true;
             }
        }
   return false;
}
int KM(bool maxsum=true)   //maxsum==true为最大权值，否则为最小
{
   int i,j;
   if(!maxsum)             //由maxsum进行对边权修改
   {
       for(i=0;i<n;i++)
          for(j=0;j<n;j++)
		w[i][j]*=-1;
   }
   for(i=0;i<n;i++)       //初始化lx,ly
   {
  	lx[i]=-INF;
	ly[i]=0;
        for(j=0;j<n;j++)
          lx[i]=max(w[i][j],lx[i]);	
   }
   memset(mat,-1,sizeof(mat));
   for(int u=0;u<n;u++)
      while(1)
      {
	memset(sx,0,sizeof(sx));
        memset(sy,0,sizeof(sy));
	if(path(u)) break;       //若找到匹配则跳出，判断下一个点
        int dx=INF;
	for(i=0;i<n;i++)         //对访问过的点不满足lx[u]+ly[v]=w[u][v]的点对，找出最小差值dx
            if(sx[i])
            for(j=0;j<n;j++)
 	       if(!sy[j])
 		dx=min(lx[i]+ly[j]-w[i][j],dx);
        for(i=0;i<n;i++)   
        {
	    if(sx[i])           //对访问过的x更新，使满足差值dx的点更新后满足lx[i]+ly[i]==w[i][j]，从而增加可行边
	       lx[i]-=dx;
	    if(sy[i])           //对访问过的y更新，使得已经满足条件的lx[i]+ly[i]==w[i][j]依然成立
	       ly[i]+=dx;
	}
      }
     int sum=0;
     for(i=0;i<n;i++)
        sum+=w[mat[i]][i];
     if(!maxsum)    //若有必要，进行恢复
    {
       sum=-sum;
       for(i=0;i<n;i++)
          for(j=0;j<n;j++)
		w[i][j]*=-1;
    }	
    return sum;
}