二分图最大权匹配 (KM算法)

最新推荐文章于 2024-01-15 21:06:32 发布

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分类专栏：二分图匹配

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u010126535/article/details/9933743

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本文介绍如何使用KM算法求解带权二分图的最大权完美匹配问题。KM算法通过顶点标号将问题转换为寻找完备匹配，并通过调整顶标确保相等子图具有完备匹配。初始时，顶点标号基于边权设置，然后不断寻找并调整顶标，以扩大相等子图。当无法找到完备匹配时，通过交错树和松弛量优化，降低算法复杂度到O(n^3)。

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二分图最大权完美匹配KM算法是在一个二分图里，求一个最大权匹配，但是要求这个匹配必须是完美匹配。如果匹配不一定是完美匹配，那么似乎只能将其转化为最小费用最大流来做了。我们可以使用KM算法对任意带权（无论正负权）二分图求最大/最小权完美匹配，它的算法复杂度是O(n³)，但是如果写得不好会变成O(n⁴)。

KM算法是通过给每个顶点一个标号（我们有时称之为顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。我们令二分图中X部的节点的顶标为A_i，Y部的节点的顶标为B_i。X部与Y部节点之间的权值为W_i,j，那么，在算法进行的过程中，我们必须始终保持 $A_i+B_i\geq W_{i,j}$ 成立。因为KM算法的正确性基于以下定理：

若由二分图中所有满足A_i+B_i=W_i,j的边 (i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

初始时为了使 $A_i+B_i\geq W_{i,j}$ 成立，令A_i为所有与X_i顶点关联的边的权值的最大值，令B_i=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就需要修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止（这样就可以求出最大权匹配）。

如果当前相等子图找不到完备匹配，那么是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，现在我们把交错树中X部的顶点的顶标全都减小某个值d，Y部的顶点的顶标全都增加d，就可以使得至少有一条新边进入相等子图。这里d=min{A_i+B_i-W_i,j}，而且X_i在交错树中，Y_i不在。

但是如果仅仅是这样，用朴素的方法实现，算法复杂度是O(n⁴)。我们给每个Y部的顶点一个“松弛量”slack，每次开始找增广路时松弛量初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack_j变成原值与A_i+B_i-W_i,j的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack_j值都减去d。经过这样一个优化实现后，算法复杂度就变成了O(n³)。

模板 "

#include <stdio.h>

#include <string.h>
#define N 1001
#define M 1<<30

int n;
int m[N][N]={0};
int match[N]={0};
int lx[N]={0},ly[N]={0};