UVa 11361 Investigating Div-Sum Property

最新推荐文章于 2018-11-29 22:08:00 发布

原创最新推荐文章于 2018-11-29 22:08:00 发布 · 483 阅读

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数位dp

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本文解析了一道数位DP入门题目，旨在求解区间内同时满足数位和及自身均为特定数k倍数的整数数量。文章详细介绍了状态定义、空间优化策略，并提供了完整的C++代码实现。

一个不错的数位dp入门题

求区间 $[a,b]$ 中满足各个数位之和是k的倍数且这个数本身也是k的倍数的数的个数
数据范围 : $1\leq a,b\leq 2^{31},1\leq k \leq 10000$

一个不错的数位dp入门题

感觉这题如果要想清楚的话，还是要明确的定义一下dp的状态
$dp[pos][m][ms]$ 为前缀剩下的长度为pos，前缀 $mod\;k$ 为m，前缀的数位和 $mod\;k$ 为ms的时候，接在那样的前缀的后面使得总的数字能符合题意的数的个数
（如果不能理解的话，可以多读两遍

这个题还有一个问题就是如果你dp的第三维是按照k的大小开的话，需要 $O(log_{10}(2^{31})\times k^2)$ 的空间复杂度，显然是开不下的

但是仔细想想，其实第三维完全不用开这么大，因为虽然我们存的是 $mod\;k$ 的值，但是题目范围内的数的数位和其实只有 $floor(log_{10}(2^{31})) \times 9 \approx 90$ ,所以第三维只要开到100就够了

其实这个题还有一个优化，只要k超过90,我们都可以 $O(1)$ 时间内得出答案，留作习题（想一想，为什么

不管对不对，反正这就是我对数位dp的理解了（笑

                           我是代码的昏割线

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 11234;
int k;
int dp[12][maxn][108];
int dig[12];

int dfs(int pos,int mod,int mods,bool lim)
{
    if(pos < 0) return mod==0 && mods==0;
    int &ndp = dp[pos][mod][mods];
    if(!lim && ndp!=-1) return ndp;
    int ret = 0;
    int bound = lim ? dig[pos] : 9;
    for(int i=0; i<=bound; i++)
    {
        ret += dfs(pos-1,(mod*10+i)%k,(mods+i)%k,lim && i == bound);
    }
    if(!lim)
        ndp = ret;
    return ret;
}

int cal(int n)
{
    int len = 0;
    while(n)
    {
        dig[len++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(len-1,0,0,true);
}

int main()
{
    int T;
    int a,b;
    scanf("%d",&T);
    while(T-- && ~scanf("%d %d %d",&a,&b,&k))
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        printf("%d\n",cal(b)-cal(a-1));
    }
    return 0;
}