21、数学计算与优化：LaTeX 使用及碰撞检测示例

数学计算与优化：LaTeX 使用及碰撞检测示例

1. LaTeX 在数学表达中的应用

在数学计算和文档编写中，LaTeX 是一种强大的工具，它可以帮助我们生成高质量的数学表达式和文档。

1.1 使用 view 函数生成 PDF

当 view 函数接收到关键字参数 viewer='pdf' 时，会使用 LaTeX 输出来创建一个外部 PDF 文件，而不是将其传递给 jsMath。以下是一个示例，展示了如何在同一个 PDF 文档中排版多个表达式：

# 假设这里是创建表达式列表并使用 view 函数输出到 PDF 的代码示例
# 这里只是示意，实际代码可能因环境不同而有所差异
# expressions = [expr1, expr2]
# view(expressions, viewer='pdf', sep=r'\hrule')

关键字参数 sep 用于指定表达式之间的分隔方式，例如使用 LaTeX 命令 \hrule 可以创建一条水平线。另外，关键字参数 tightpage=True 可以将页面缩小以紧密围绕单个排版表达式。

1.2 在笔记本界面中使用 LaTeX 标记

在笔记本界面中，我们可以方便地使用 LaTeX 标记。以下是具体操作步骤：
1. 在工作表的输入单元格中输入以下代码：

var('n, x, t')
J_n(n, x) = 1 / pi * integral(cos(n * t - x * sin(t)), t, 0, pi)
latex(J_n)

运行后，会得到一个表示对象 J_n 的 LaTeX 标记字符串：

\left( n, x \right) \ {\mapsto} \ \frac{\int_{0}^{\pi} \cos\left(-n t + x \sin\left(t\right)\right)\,{d t}}{\pi}

可以将此文本直接粘贴到现有的 LaTeX 文档中。此功能在 Sage 命令行中同样适用。

2. 还可以在输入单元格中使用 %latex 来评估 LaTeX 表达式，例如：

%latex
\left( n, x \right) \ {\mapsto} \ \frac{\int \cos\left(-n t + x \sin\left(t\right)\right)\,{d t}}{\pi}

也可以将表达式如 \(y=x^3\) 内联使用。

3. 另外，我们可以将 Sage 命令嵌入到 LaTeX 标记中，在另一个输入单元格中输入：

%latex
\sage{latex(J_n(n,x))}

1.3 创建包含公式和图形的 LaTeX 文档

下面我们将创建一个简单的 LaTeX 文档，包含排版好的方程和图形。具体步骤如下：
1. 绘制贝塞尔函数图像 ：

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy

def J_n_numerical(n, x):
    integrand(n1, x1, t) = cos(n1 * t - x1 * sin(t))
    J_n = numpy.zeros(len(x))
    for j in range(len(x)):
        J_n[j] = 1 / pi.n() * integrand(n1=n, x1=x[j]).nintegrate(t, 0, pi)[0]
    return J_n

n_values = [0, 1, 2]
x = numpy.arange(0.0, 10.0, 0.1)

plt.figure()
for n in n_values:
    plt.plot(x, J_n_numerical(n, x), label='n=' + str(n))

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('J(x)')
plt.legend(loc='upper right')
plt.savefig('J_n.pdf')
plt.close()

图像将保存为 PDF 文件在 SAGE_TEMP 目录中，在浏览器中会看到文件链接，点击链接可在 PDF 查看器中打开并保存副本。

2. 创建 LaTeX 源文件 ：
   在与 PDF 图形相同的目录下创建一个纯文本文件，并保存为 .tex 扩展名，输入以下 LaTeX 标记：

\documentclass{report}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\title{A Simple \LaTeX{} Document}
\author{Your Name}
\maketitle
\begin{abstract}
The abstract text goes here.
\end{abstract}
\section{Introduction}
Write your introduction here.
\section{Mathematics}
Some text...
\subsection{Subsection Heading Here}
Equations...
\begin{equation}
    \label{simple_equation}
    \left( n, x \right) \ {\mapsto} \ \frac{\int_{0}^{\pi} \cos\left(-n t + x \sin\left(t\right)\right)\,{d t}}{\pi}
\end{equation}
\subsection{Subsection Heading Here}
Graphics...
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=3.0in]{J_n.pdf}
    \caption{Bessel function of the first kind}
\end{figure}
\section{Conclusion}
Write your conclusion here.
\end{document}

3. 处理 LaTeX 文档 ：
   根据不同的操作系统和 TeX 发行版，处理 LaTeX 文档的方法不同。在 Linux 或 OS X 上，可以使用命令行。在终端窗口中，切换到保存 LaTeX 源文件和 PDF 文件的目录，然后在命令行中输入：

pdflatex Bessel_functions.tex

运行后会在同一目录下创建一个新的 PDF 文件。

2. 碰撞检测示例及优化思路

2.1 碰撞检测的背景和意义

碰撞检测在许多领域都有重要应用，如蒙特卡罗模拟、飞行模拟器和视频游戏等。在这些应用中，检测球体之间的碰撞是一个常见的问题。大多数碰撞检测算法会为每个复杂对象定义一个“边界球体”，并检查这些边界球体之间是否相交。如果相交，则需要进行更复杂的计算来确定对象本身是否实际重叠。

2.2 碰撞检测的实现

以下是在笔记本界面中实现碰撞检测的步骤：
1. 创建随机放置的球体 ：

dimension = 20
num_particles = 500
radius = 1.0
rng = RealDistribution('uniform', [0,dimension], seed=1)
x = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]
y = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]
z = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]

2. 可视化粒子 ：

grobs = []
for i in range(num_particles):
    grobs.append(sphere((x[i], y[i], z[i]), size=radius, color='red'))
show(sum(grobs))

由于渲染 500 个球体的 3D 图形需要一些时间，在较旧的系统上可能不适合运行此部分代码。

3. 检查碰撞 ：

%time
import numpy
collisions_1 = numpy.zeros(num_particles, dtype=numpy.bool)
for i in range(num_particles):
    for j in range(0,i):
        r = sqrt((x[i] - x[j])**2 + (y[i] - y[j])**2 + (z[i] - z[j])**2)
        if r < 2*radius:
            collisions_1[i] = True

    for j in range(i+1,num_particles):
        r = sqrt((x[i] - x[j])**2 + (y[i] - y[j])**2 + (z[i] - z[j])**2)
        if r < 2*radius:
            collisions_1[i] = True

碰撞检测本身不会给出输出，而是将结果存储在一个布尔值数组中。同时，Sage 笔记本界面会报告代码的 CPU 时间和墙时间。

2.3 命令行版本的碰撞检测

在命令行中实现碰撞检测的步骤如下：
1. 在纯文本编辑器中创建一个脚本，输入以下代码：

dimension = 20
num_particles = 500
radius = 1.0
rng = RealDistribution('uniform', [0,dimension], seed=1)
x = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]
y = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]
z = [rng.get_random_element() for i in range(num_particles)]
import numpy
collisions_1 = numpy.zeros(num_particles, dtype=numpy.bool)
start_time = walltime()
for i in range(num_particles):
    for j in range(0,i):
        r = sqrt((x[i] - x[j])**2 + (y[i] - y[j])**2 + (z[i] - z[j])**2)
        if r < 2*radius:
            collisions_1[i] = True

    for j in range(i+1,num_particles):
        r = sqrt((x[i] - x[j])**2 + (y[i] - y[j])**2 + (z[i] - z[j])**2)
        if r < 2*radius:
            collisions_1[i] = True

print(walltime(start_time))

2. 将脚本保存为 .sage 扩展名，并使用 load 命令在交互式 shell 中运行：

sage: load collision_detection_1_Sage.sage

运行结束后会显示运行时间。

总结

本文介绍了 LaTeX 在数学表达和文档生成中的应用，以及碰撞检测的实现和优化思路。通过这些示例，我们可以看到如何利用工具和算法来解决实际问题。在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的方法和工具，同时注意代码的效率和可读性。在后续的学习和实践中，我们可以进一步探索如何优化代码，提高计算效率，以及如何将这些技术应用到更广泛的领域中。

相关表格和流程图

球体函数参数表

关键字	默认值	描述
center	(0,0,0)	球体中心的位置 (x, y, z)
radius	1	球体的半径
color	blue	球体的颜色
opacity	1	浮点数，范围从 0（透明）到 1（不透明）

碰撞检测流程图

graph TD;
    A[创建随机球体] --> B[可视化球体];
    B --> C[检查碰撞];
    C --> D[输出结果];

进一步探索

• 可以尝试添加一个章节来记录第二类贝塞尔函数，定义符号函数，获取其 LaTeX 表示，并将其粘贴到 LaTeX 文档的新章节中。然后定义一个可用于绘图的数值函数，并使用 Matplotlib 绘制图形，将图形包含在 LaTeX 文档中。
• 在优化代码方面，可以进一步探索如何提高碰撞检测算法的效率，例如使用空间划分算法来减少不必要的计算。

数学计算与优化：LaTeX 使用及碰撞检测示例

3. 代码优化的重要性与原则

在编程中，优化代码的执行速度并非在所有情况下都至关重要。Donald Knuth 有一句名言：“我们应该在大约 97% 的时间里忘记小的效率问题：过早优化是万恶之源。”在一个编程项目中，从开始到结束，大部分时间通常花在编写程序、测试、修复错误以及日后回顾代码以理解其编写意图上，而只有一小部分时间用于等待程序运行。因此，编写整洁、易读且文档完善的代码才是真正节省时间的关键。

然而，在数学和科学计算领域，减少程序的运行时间有时是非常有帮助的。例如，气候模拟和一些数论计算可能需要在大规模并行集群上运行数天。当程序能在几秒内而不是几分钟内运行时，测试和调试的速度也会大大提高。在进行代码优化时，我们应牢记这些基本原则。

4. 碰撞检测代码的分析与潜在优化方向

4.1 现有碰撞检测代码的问题

当前的碰撞检测算法虽然概念简单，但计算效率较低。对于列表中有 $N$ 个粒子的情况，碰撞检测需要进行 $N^2$ 次。随着粒子数量的增加，算法的性能会急剧下降。具体来说，代码中使用了嵌套的 for 循环来计算每个球体与其他所有球体之间的距离，这种方法会导致大量的重复计算。

4.2 潜在的优化思路

为了提高碰撞检测的效率，可以考虑以下几种优化思路：
- 空间划分算法 ：将整个空间划分为多个小的区域，只检查相邻区域内球体之间的碰撞，这样可以减少不必要的计算。例如，使用八叉树（Octree）或四叉树（Quadtree）等数据结构来实现空间划分。
- 并行计算 ：利用多核处理器的优势，将碰撞检测任务分配到多个线程或进程中并行执行，从而缩短整体运行时间。

5. 优化示例：使用空间划分算法

5.1 八叉树的基本原理

八叉树是一种用于三维空间划分的数据结构，它将一个三维空间递归地划分为八个子空间，直到每个子空间中只包含少量的对象或达到预设的最大深度。在碰撞检测中，可以使用八叉树来快速定位可能发生碰撞的球体对。

5.2 实现步骤

以下是使用八叉树进行碰撞检测的大致实现步骤：
1. 构建八叉树 ：根据所有球体的位置和大小，构建一个八叉树。将每个球体插入到合适的子空间中。
2. 遍历八叉树 ：对于每个子空间，检查其中的球体与相邻子空间中的球体之间是否发生碰撞。
3. 更新八叉树 ：如果球体的位置发生变化，需要更新八叉树以确保其准确性。

以下是一个简单的八叉树实现示例：

class Octree:
    def __init__(self, bounds, max_objects=10, max_depth=5, depth=0):
        self.bounds = bounds
        self.max_objects = max_objects
        self.max_depth = max_depth
        self.depth = depth
        self.objects = []
        self.nodes = [None] * 8

    def insert(self, obj):
        if self.nodes[0] is not None:
            index = self.get_index(obj)
            if index != -1:
                self.nodes[index].insert(obj)
                return
        self.objects.append(obj)
        if len(self.objects) > self.max_objects and self.depth < self.max_depth:
            if self.nodes[0] is None:
                self.split()
            i = 0
            while i < len(self.objects):
                index = self.get_index(self.objects[i])
                if index != -1:
                    self.nodes[index].insert(self.objects.pop(i))
                else:
                    i += 1

    def split(self):
        sub_width = self.bounds[1][0] - self.bounds[0][0] / 2
        sub_height = self.bounds[1][1] - self.bounds[0][1] / 2
        sub_depth = self.bounds[1][2] - self.bounds[0][2] / 2
        x = self.bounds[0][0]
        y = self.bounds[0][1]
        z = self.bounds[0][2]
        self.nodes[0] = Octree([[x, y, z], [x + sub_width, y + sub_height, z + sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[1] = Octree([[x + sub_width, y, z], [x + 2 * sub_width, y + sub_height, z + sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[2] = Octree([[x, y + sub_height, z], [x + sub_width, y + 2 * sub_height, z + sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[3] = Octree([[x + sub_width, y + sub_height, z], [x + 2 * sub_width, y + 2 * sub_height, z + sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[4] = Octree([[x, y, z + sub_depth], [x + sub_width, y + sub_height, z + 2 * sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[5] = Octree([[x + sub_width, y, z + sub_depth], [x + 2 * sub_width, y + sub_height, z + 2 * sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[6] = Octree([[x, y + sub_height, z + sub_depth], [x + sub_width, y + 2 * sub_height, z + 2 * sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)
        self.nodes[7] = Octree([[x + sub_width, y + sub_height, z + sub_depth], [x + 2 * sub_width, y + 2 * sub_height, z + 2 * sub_depth]], self.max_objects, self.max_depth, self.depth + 1)

    def get_index(self, obj):
        index = -1
        vertical_midpoint = self.bounds[0][0] + (self.bounds[1][0] - self.bounds[0][0]) / 2
        horizontal_midpoint = self.bounds[0][1] + (self.bounds[1][1] - self.bounds[0][1]) / 2
        depth_midpoint = self.bounds[0][2] + (self.bounds[1][2] - self.bounds[0][2]) / 2
        top_half = obj[1][1] > horizontal_midpoint
        bottom_half = obj[0][1] < horizontal_midpoint
        front_half = obj[1][2] > depth_midpoint
        back_half = obj[0][2] < depth_midpoint
        if obj[1][0] < vertical_midpoint:
            if top_half:
                if front_half:
                    index = 2
                else:
                    index = 0
            else:
                if front_half:
                    index = 6
                else:
                    index = 4
        else:
            if top_half:
                if front_half:
                    index = 3
                else:
                    index = 1
            else:
                if front_half:
                    index = 7
                else:
                    index = 5
        return index

    def retrieve(self, return_objects, obj):
        index = self.get_index(obj)
        if index != -1 and self.nodes[0] is not None:
            self.nodes[index].retrieve(return_objects, obj)
        return_objects.extend(self.objects)
        return return_objects

可以使用以下代码调用八叉树进行碰撞检测：

# 创建八叉树
bounds = [[0, 0, 0], [dimension, dimension, dimension]]
octree = Octree(bounds)

# 插入球体
for i in range(num_particles):
    sphere_bounds = [[x[i] - radius, y[i] - radius, z[i] - radius], [x[i] + radius, y[i] + radius, z[i] + radius]]
    octree.insert(sphere_bounds)

# 检查碰撞
collisions_2 = numpy.zeros(num_particles, dtype=numpy.bool)
for i in range(num_particles):
    sphere_bounds = [[x[i] - radius, y[i] - radius, z[i] - radius], [x[i] + radius, y[i] + radius, z[i] + radius]]
    potential_collisions = octree.retrieve([], sphere_bounds)
    for j in range(len(potential_collisions)):
        # 计算距离并检查碰撞
        pass

6. 总结与展望

6.1 总结

本文详细介绍了 LaTeX 在数学表达和文档生成中的应用，包括生成 PDF、在笔记本界面中使用 LaTeX 标记以及创建包含公式和图形的 LaTeX 文档。同时，通过碰撞检测的示例，展示了代码优化的重要性以及如何分析现有代码的问题，并提出了潜在的优化思路。最后，给出了一个使用八叉树进行碰撞检测的优化示例。

6.2 展望

• 在 LaTeX 应用方面，可以进一步学习和掌握更多的 LaTeX 技巧，如自定义样式、使用更多的宏包等，以生成更加专业和美观的文档。
• 在代码优化方面，可以继续探索其他优化算法和技术，如更高级的空间划分算法、GPU 加速等，以提高碰撞检测和其他计算密集型任务的效率。

相关表格和流程图

优化前后碰撞检测算法对比表

算法	时间复杂度	适用场景	优点	缺点
原始算法	$O(N^2)$	粒子数量较少的情况	实现简单，概念清晰	计算效率低，随着粒子数量增加性能急剧下降
八叉树算法	$O(N log N)$	粒子数量较多的情况	减少不必要的计算，提高计算效率	实现复杂度较高，需要额外的内存空间

八叉树碰撞检测流程图

graph TD;
    A[创建八叉树] --> B[插入球体];
    B --> C[遍历八叉树检查碰撞];
    C --> D[输出碰撞结果];

通过以上的学习和实践，我们可以更好地利用 LaTeX 进行数学文档的编写，同时掌握代码优化的方法和技巧，提高程序的性能和效率。