54、非确定性有限状态自动机与语言关系解析

非确定性有限状态自动机与语言关系解析

1. 有限状态自动机与正则文法的转换

在自动机和语言的研究中，有限状态自动机和正则文法之间的转换是一个重要的内容。我们可以将有限状态自动机转换为正则文法，下面通过一个例子来说明。

假设有一个有限状态自动机，其输入符号集合为({a, b})，状态有(E)和(O)，初始状态为(E)。根据自动机的转移边，我们可以得到对应的正则文法的产生式。如果从状态(S)到状态(S’)有一条标记为(x)的边，那么就有产生式(S →xS’)。在这个例子中，我们得到以下产生式：
(E →bE)
(E →aO)
(O →aE)
(O →bO)

如果某个状态是接受状态，还需要添加产生式(S →λ)。这里(O)是接受状态，所以有(O →λ)。那么这个正则文法(G = (N, T, P, E))，其中(N = {O, E})，(T = {a, b})，(P)为上述产生式的集合，它所生成的语言(L(G))与该有限状态自动机所接受的字符串集合是相同的。

这个转换过程可以总结为一个定理：设(A)是一个以转移图形式给出的有限状态自动机，(\sigma)是初始状态，(T)是输入符号集合，(N)是状态集合。产生式集合(P)满足：若从(S)到(S’)有标记为(x)的边，则有(S →xS’)；若(S)是接受状态，则有(S →λ)。那么正则文法(G = (N, T, P, \sigma))所生成的语言(L(G))等于(A)所接受的字符串集合(Ac(A))。

证明过程分为两部分：
- 首先证明(Ac(A) ⊆L(G))：
- 若(\alpha)是空字符串，那么(\sigma)是接受状态，(G)中有产生式(\sigma →λ)，通过推导(\sigma ⇒λ)，可知(\alpha ∈L(G))。
- 若(\alpha)不是空字符串，设(\alpha = x_1 · · · x_n)，因为(\alpha)被(A)接受，所以存在一条路径((\sigma, S_1, . . . , S_n))，其中(S_n)是接受状态，边依次标记为(x_1, . . . , x_n)。由此可知(G)中包含产生式(\sigma →x_1S_1)和(S_{i - 1} →x_iS_i)（(i = 2, . . . , n)），且(S_n →λ)。通过推导(\sigma ⇒x_1S_1 ⇒x_1x_2S_2 ⇒ · · · ⇒x_1 · · · x_nS_n ⇒x_1 · · · x_n)，可知(\alpha ∈L(G))。
- 然后证明(L(G) ⊆Ac(A))：
- 若(\alpha)是空字符串，由于只有(\sigma →λ)的推导能得到空字符串，所以(\sigma)是接受状态，(\alpha ∈Ac(A))。
- 若(\alpha)不是空字符串，设(\alpha = x_1 · · · x_n)，存在形如上述的推导。在转移图中从(\sigma)开始沿着路径((\sigma, S_1, . . . , S_n))可以生成字符串(\alpha)，且最后一个产生式是(S_n →λ)，所以最后到达的状态是接受状态，(\alpha)被(A)接受。

2. 正则文法到有限状态自动机的转换及非确定性有限状态自动机的引入

接下来考虑将正则文法转换为有限状态自动机。以正则文法(G)为例，其由(T = {a, b})，(N = {σ, C})，产生式(\sigma →bσ)，(\sigma →aC)，(C →bC)，(C →b)，以及起始符号(\sigma)定义。

将非终结符作为状态，(\sigma)为初始状态。对于形如(S →xS’)的产生式，从状态(S)到状态(S’)画一条标记为(x)的边。对于产生式(C →b)，等价于(C →bF)和(F →λ)，其中(F)是一个额外的非终结符。这样就得到了一个图，但这个图并不是一个有限状态自动机。因为顶点(C)没有标记为(a)的出边，顶点(F)没有出边，且顶点(C)有两条标记为(b)的出边。这种图定义了另一种自动机，即非确定性有限状态自动机。

非确定性有限状态自动机的定义如下：
一个非确定性有限状态自动机(A)由以下部分组成：
|组成部分|描述|
| ---- | ---- |
|输入符号集合(I)|一个有限的输入符号集合|
|状态集合(S)|一个有限的状态集合|
|下一状态函数(f)|从(S × I)到(P(S))的函数|
|接受状态子集(A)| (S)的一个子集，表示接受状态|
|初始状态(\sigma)| (S)中的一个元素，表示初始状态|

可以写成(A = (I, S, f, A, \sigma))。与有限状态自动机的唯一区别在于，有限状态自动机的下一状态函数将我们带到一个唯一确定的状态，而非确定性有限状态自动机的下一状态函数将我们带到一个状态集合。

例如，对于上述得到的非确定性有限状态自动机，(I = {a, b})，(S = {σ, C, F})，(A = {F})，初始状态是(\sigma)，下一状态函数(f)如下表所示：
| (S) \ (I) | (a) | (b) |
| ---- | ---- | ---- |
| (\sigma) | ({C}) | ({\sigma}) |
| (C) | (\varnothing) | ({C, F}) |
| (F) | (\varnothing) | (\varnothing) |

非确定性有限状态自动机的转移图绘制方法与有限状态自动机类似，从状态(S)到集合(f(S, x))中的每个状态画一条标记为(x)的边。

3. 非确定性有限状态自动机对字符串的接受规则

一个字符串(\alpha)被非确定性有限状态自动机(A)接受的条件是：在(A)的转移图中，存在一条从初始状态开始并以接受状态结束的路径来表示(\alpha)。

形式化定义如下：设(A = (I, S, f, A, \sigma))是非确定性有限状态自动机。空字符串被(A)接受当且仅当(\sigma ∈A)。若(\alpha = x_1 · · · x_n)是非空字符串，且存在状态(\sigma_0, . . . , \sigma_n)满足以下条件：
- (\sigma_0 = \sigma)
- (\sigma_i ∈f(\sigma_{i - 1}, x_i))，(i = 1, . . . , n)
- (\sigma_n ∈A)

则称(\alpha)被(A)接受，用(Ac(A))表示(A)所接受的字符串集合。如果两个非确定性有限状态自动机(A)和(A’)的(Ac(A) = Ac(A’))，则称它们是等价的。

例如，对于上述的非确定性有限状态自动机，字符串(\alpha = bbabb)是被接受的，因为存在路径((\sigma, \sigma, \sigma, C, C, F))，该路径以接受状态(F)结束。虽然也存在路径(P = (\sigma, \sigma, \sigma, C, C, C))表示(\alpha)，但它不以接受状态结束，不过只要存在一条以接受状态结束的路径，字符串就被接受。而字符串(\beta)若没有路径表示它，或者所有表示它的路径都不以接受状态结束，则(\beta)不被接受。

4. 从正则文法构造非确定性有限状态自动机的定理

将上述从正则文法构造非确定性有限状态自动机的过程总结为一个定理：设(G = (N, T, P, \sigma))是一个正则文法，令(I = T)，(S = N ∪{F})（(F ∉N ∪T)），(f(S, x) = {S’ | S →xS’ ∈P} ∪{F | S →x ∈P})，(A = {F} ∪{S | S →λ ∈P})。那么非确定性有限状态自动机(A = (I, S, f, A, \sigma))恰好接受(G)所生成的字符串(L(G))。

例如，对于正则文法(G)，由(T = {a, b})，(N = {S})，产生式(S →λ)，(S →b)，(S →aS)，以及起始符号(S)定义。输入符号集合(I = {a, b})，状态集合(S = {S, F})，(F)也是接受状态，初始状态是(S)。产生式(S →λ)表明(S)是接受状态，所以接受状态集合(A = {S, F})。产生式(S →b)产生从状态(S)到状态(F)的转移，产生式(S →aS)产生从状态(S)到状态(S)的转移，从而得到对应的转移图。

下面是一个mermaid格式的流程图，展示从正则文法构造非确定性有限状态自动机的过程：

graph LR
    A[正则文法G] --> B[确定输入符号集合I = T]
    A --> C[确定状态集合S = N ∪ {F}]
    A --> D[确定下一状态函数f]
    A --> E[确定接受状态集合A]
    B --> F[非确定性有限状态自动机A]
    C --> F
    D --> F
    E --> F

综上所述，我们介绍了有限状态自动机与正则文法之间的相互转换，以及非确定性有限状态自动机的概念、定义、对字符串的接受规则和从正则文法构造非确定性有限状态自动机的方法。这些内容为进一步研究自动机和语言的关系奠定了基础。

非确定性有限状态自动机与语言关系解析

5. 非确定性有限状态自动机转换为等价的有限状态自动机

虽然非确定性有限状态自动机看起来比有限状态自动机更具一般性，但实际上可以将非确定性有限状态自动机转换为等价的有限状态自动机。下面通过一个例子来说明转换方法。

假设有一个非确定性有限状态自动机，其输入符号集合不变，状态由原状态集合(S = {σ, C, F})的所有子集组成，即(\varnothing)，({σ})，({C})，({F})，({σ, C})，({σ, F})，({C, F})，({σ, C, F})。初始状态为({σ})，接受状态是原非确定性有限状态自动机接受状态所在的所有子集，即({F})，({σ, F})，({C, F})，({σ, C, F})。

如果(X = \varnothing = Y)，或者(\bigcup_{S∈X} f(S, x) = Y)，则从状态(X)到状态(Y)画一条标记为(x)的边。这样就得到了一个有限状态自动机，其中一些无法到达的状态，如({σ, F})，({σ, C})，({σ, C, F})，({F})，可以删除，从而得到简化的等价有限状态自动机。

下面是将非确定性有限状态自动机转换为等价有限状态自动机的形式化定理：设(A = (I, S, f, A, σ))是非确定性有限状态自动机，令(S’ = P(S))，(I’ = I)，(\sigma’ = {σ})，(A’ = {X ⊆S | X ∩A ≠ ∅})，(f’(X, x) = \begin{cases} \varnothing, & \text{if } X = \varnothing \ \bigcup_{S∈X} f(S, x), & \text{if } X ≠ \varnothing \end{cases})。则有限状态自动机(A’ = (I’, S’, f’, A’, σ’))与(A)等价。

证明过程如下：
- 假设字符串(\alpha = x_1 · · · x_n)被(A)接受，则存在状态(\sigma_0, . . . , \sigma_n ∈S)，满足(\sigma_0 = σ)，(\sigma_i ∈f(\sigma_{i - 1}, x_i))（(i = 1, . . . , n)），(\sigma_n ∈A)。设(Y_0 = {σ_0})，(Y_i = f’(Y_{i - 1}, x_i))（(i = 1, . . . , n)）。因为(Y_1 = f’(Y_0, x_1) = f’({\sigma_0}, x_1) = f(\sigma_0, x_1))，所以(\sigma_1 ∈Y_1)。同理可得(\sigma_2 ∈Y_2)，(\sigma_3 ∈Y_3)，以此类推，(\sigma_n ∈Y_n)。由于(\sigma_n)是(A)的接受状态，所以(Y_n)是(A’)的接受状态，因此(\alpha)被(A’)接受。
- 假设字符串(\alpha = x_1 · · · x_n)被(A’)接受，则存在子集(Y_0, . . . , Y_n)，满足(Y_0 = \sigma’ = {σ})，(f’(Y_{i - 1}, x_i) = Y_i)（(i = 1, . . . , n)），且存在状态(\sigma_n ∈Y_n ∩A)。因为(\sigma_n ∈Y_n = f’(Y_{n - 1}, x_n) = \bigcup_{S∈Y_{n - 1}} f(S, x_n))，所以存在(\sigma_{n - 1} ∈Y_{n - 1})，使得(\sigma_n ∈f(\sigma_{n - 1}, x_n))。同理可得(\sigma_{n - 2} ∈Y_{n - 2})，以此类推，可得(\sigma_i ∈Y_i)（(i = 0, . . . , n)），且(\sigma_i ∈f(\sigma_{i - 1}, x_i))（(i = 1, . . . , n)）。特别地，(\sigma_0 = \sigma)，所以(\alpha)被(A)接受。

6. 正则语言与有限状态自动机的关系总结

一个语言(L)是正则的，当且仅当存在一个有限状态自动机(A)，使得(A)恰好接受(L)中的字符串。这一结论综合了前面从有限状态自动机构造正则文法、从正则文法构造非确定性有限状态自动机以及将非确定性有限状态自动机转换为等价有限状态自动机的内容。

例如，对于正则文法(G)，其产生式为(\sigma →bσ)，(\sigma →aC)，(C →bC)，(C →b)，起始符号为(\sigma)，终端符号集合为({a, b})，非终端符号集合为({σ, C})。先构造接受(L(G))的非确定性有限状态自动机，再将其转换为等价的有限状态自动机，该有限状态自动机就恰好接受(G)所生成的字符串。

7. 非正则语言的判定及自动机的应用

通过有限状态自动机还可以判定一个语言是否为正则语言。例如，对于语言(L = {a^nb^n | n = 1, 2, . . . })，假设它是正则的，那么存在一个有限状态自动机(A)，使得(Ac(A) = L)。设(A)有(k)个状态，字符串(\alpha = a^kb^k)被(A)接受。在表示(\alpha)的路径中，由于只有(k)个状态，所以在表示(a^k)的部分路径中，某个状态(\sigma)会被再次访问，即存在一个所有边都标记为(a)的循环(C)包含(\sigma)。改变路径(P)，当到达(\sigma)时，沿着循环(C)走，回到(\sigma)后再继续走(P)到终点，得到路径(P’)，它表示字符串(\alpha’ = a^{j + k}b^k)（(j)为循环(C)的长度）。因为(P)和(P’)结束于同一个接受状态，所以(\alpha’)被(A)接受，但(\alpha’)不是(a^nb^n)的形式，这产生了矛盾，所以(L)不是正则语言。

此外，还可以利用有限状态自动机进行一些字符串操作。例如，已知一个有限状态自动机(A)接受语言(L)，要构造一个接受(L^R = {x_n · · · x_1 | x_1 · · · x_n ∈L})的有限状态自动机。如果(A)只有一个接受状态，只需将(A)的所有箭头反转，将原接受状态作为初始状态，原初始状态作为接受状态，就得到一个接受(L^R)的非确定性有限状态自动机，若需要可进一步转换为等价的有限状态自动机。如果(A)有多个接受状态，先引入一个额外状态(\sigma_5)，让终止于原接受状态的路径可以选择终止于(\sigma_5)，再按照上述方法反转箭头，得到接受(L^R)的非确定性有限状态自动机。

下面是一个mermaid格式的流程图，展示判断语言是否为正则语言的过程：

graph LR
    A[语言L] --> B[假设L是正则的]
    B --> C[存在有限状态自动机A，Ac(A)=L]
    C --> D[取字符串α = a^kb^k（k为A的状态数）]
    D --> E[分析表示α的路径]
    E --> F{是否存在循环C}
    F -- 是 --> G[构造新字符串α']
    G --> H{α'是否符合L的形式}
    H -- 否 --> I[L不是正则语言]
    F -- 否 --> J[继续分析其他情况]
    J --> K{最终能否找到矛盾}
    K -- 是 --> I
    K -- 否 --> L[L可能是正则语言]

8. 总结与展望

本文深入探讨了有限状态自动机、正则文法和正则语言之间的关系。从有限状态自动机与正则文法的相互转换，到非确定性有限状态自动机的引入和转换为等价有限状态自动机，再到利用有限状态自动机判定语言是否为正则以及进行字符串操作，展示了自动机理论在语言分析中的重要作用。

在实际应用中，有限状态自动机可以用于词法分析、模式匹配、自然语言处理等领域。未来的研究可以进一步拓展自动机的类型和应用场景，例如研究无限状态自动机、概率自动机等，以处理更复杂的语言和数据。同时，结合机器学习等技术，探索自动机在智能系统中的应用，将为自动机理论带来更广阔的发展前景。

以下是一个表格总结本文的主要内容：
|内容|描述|
| ---- | ---- |
|有限状态自动机与正则文法转换|从有限状态自动机构造正则文法，反之亦然|
|非确定性有限状态自动机|定义、接受规则及与有限状态自动机的关系|
|正则语言判定|利用有限状态自动机判断语言是否为正则|
|自动机应用|字符串反转、非正则语言判定等|