42、图论中的树结构与算法解析

图论中的树结构与算法解析

1. 回溯算法问题

在算法领域，有几个经典的回溯算法问题值得探讨。
- 数独问题 ：需要编写一个回溯算法来解决任意数独谜题。虽然文中未给出具体代码，但思路是通过不断尝试可能的数字填充，若遇到冲突则回溯到上一步重新尝试。
- 最小皇后问题 ：该问题旨在找出能攻击$n×n$棋盘所有方格的最少皇后数量。我们可以编写回溯算法来判断$k$个皇后是否能攻击棋盘的所有方格。
- 子集和问题 ：给定一个正整数集合${c_1, \ldots, c_n}$和一个正整数$M$，要找出满足$\sum_{i = 1}^{j} c_{k_i} = M$的所有子集${c_{k_1}, \ldots, c_{k_j}}$。同样可以利用回溯算法来解决此问题。

2. 最小生成树

在实际应用中，比如城市间道路建设，我们希望构建一个成本最低的道路系统来连接所有城市。这就涉及到最小生成树的概念。

2.1 定义

设$G$为加权图，$G$的最小生成树是$G$中权重最小的生成树。例如，在图$G$中，存在不同的生成树，其权重各不相同。像图 9.4.2 中的树$T’$权重为 20，而图 9.4.3 中的树$T$权重为 12，$T$就是图$G$的最小生成树。

2.2 Prim 算法

Prim 算法是一种用于寻找连通加权图中最小生成树的算法。以下是该算法的具体实现：

def prim(w, n, s):
    # v(i) = 1 if vertex i has been added to mst
    # v(i) = 0 if vertex i has not been added to mst
    v = [0] * (n + 1)
    v[s] = 1
    E = []
    for i in range(1, n):
        min = float('inf')
        for j in range(1, n + 1):
            if v[j] == 1:
                for k in range(1, n + 1):
                    if v[k] == 0 and w[j][k] < min:
                        add_vertex = k
                        e = (j, k)
                        min = w[j][k]
        v[add_vertex] = 1
        E.append(e)
    return E

该算法的输入是一个连通加权图，顶点为$1, \ldots, n$，起始顶点为$s$。若$(i, j)$是边，$w(i, j)$为边的权重；若不是边，$w(i, j)$为无穷大。输出是最小生成树的边集$E$。

下面通过一个具体例子展示 Prim 算法的工作过程。假设图如图 9.4.1 所示，起始顶点$s$为 1：
| 迭代次数 | 已选顶点 | 可选边及权重 | 选择的边 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1 | (1, 2) - 4, (1, 3) - 2, (1, 5) - 3 | (1, 3) |
| 2 | 1, 3 | (1, 2) - 4, (1, 5) - 3, (3, 4) - 1, (3, 5) - 6, (3, 6) - 3 | (3, 4) |
| 3 | 1, 3, 4 | (1, 2) - 4, (1, 5) - 3, (2, 4) - 5, (3, 5) - 6, (3, 6) - 3, (4, 6) - 6 | (1, 5) |
| 4 | 1, 3, 4, 5 | (1, 2) - 4, (2, 4) - 5, (3, 6) - 3, (4, 6) - 6, (5, 6) - 2 | (5, 6) |
| 5 | 1, 3, 4, 5, 6 | (1, 2) - 4, (2, 4) - 5 | (1, 2) |

Prim 算法是贪心算法的一个例子，贪心算法在每次迭代时都进行最优选择，即“局部最优”。但需注意，每次迭代的最优选择并不一定能得到原问题的最优解。不过，Prim 算法是正确的，能得到最小生成树。

3. 二叉树

二叉树是一种非常重要的特殊类型的根树，每个顶点最多有两个子节点，且子节点会被指定为左子节点或右子节点。

3.1 定义

二叉树是根树，其中每个顶点可以有 0 个、1 个或 2 个子节点。若有一个子节点，则指定为左子节点或右子节点；若有两个子节点，则分别指定为左子节点和右子节点。

3.2 相关定理

• 满二叉树定理 ：若$T$是具有$i$个内部顶点的满二叉树，则$T$有$i + 1$个终端顶点和$2i + 1$个总顶点。例如，单淘汰锦标赛的图就是满二叉树，若有$n$个参赛者，比赛场次为$n - 1$场。
• 高度与终端顶点关系定理 ：若高度为$h$的二叉树有$t$个终端顶点，则$\lg t \leq h$。

3.3 二叉搜索树

二叉搜索树是一种用于存储有序数据的二叉树。对于每个顶点$v$，其左子树中的每个数据项都小于$v$中的数据项，右子树中的每个数据项都大于$v$中的数据项。以下是构建二叉搜索树的算法：

class TreeNode:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

def make_bin_search_tree(w, n):
    root = TreeNode(w[0])
    for i in range(1, n):
        v = root
        search = True
        while search:
            s = v.data
            if w[i] < s:
                if v.left is None:
                    v.left = TreeNode(w[i])
                    search = False
                else:
                    v = v.left
            else:
                if v.right is None:
                    v.right = TreeNode(w[i])
                    search = False
                else:
                    v = v.right
    return root

该算法的输入是一个不同单词的序列$w_1, \ldots, w_n$及其长度$n$，输出是一个二叉搜索树。

二叉搜索树在数据定位方面非常有用。给定一个数据项$D$，可以通过比较$D$与当前顶点的数据项，不断向左或向右移动，来判断$D$是否在树中。搜索时间与树的高度大致成正比，因此降低树的高度可以提高搜索速度。

mermaid 格式流程图展示 Prim 算法流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化顶点集合和边集合];
    B --> C[选择起始顶点];
    C --> D[迭代添加边];
    D --> E{是否添加了 n - 1 条边};
    E -- 否 --> D;
    E -- 是 --> F[输出最小生成树的边集];
    F --> G[结束];

综上所述，我们介绍了回溯算法的几个经典问题，详细讲解了最小生成树的概念和 Prim 算法，以及二叉树的相关知识，包括定义、定理和二叉搜索树的构建与应用。这些算法和数据结构在实际编程和算法设计中都有广泛的应用。

图论中的树结构与算法解析

4. 最小生成树相关算法拓展

除了 Prim 算法，还有其他算法可以用于寻找最小生成树，如 Kruskal 算法。

4.1 Kruskal 算法

Kruskal 算法的基本思想是：初始时图$T$仅包含图$G$的顶点，没有边。每次迭代时，添加一条权重最小且不会形成环的边到$T$中，直到$T$包含$n - 1$条边。以下是其形式化描述：

def kruskal(w, n):
    edges = []
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            if w[i][j] != float('inf'):
                edges.append((w[i][j], i, j))
    edges.sort()
    parent = [i for i in range(n + 1)]
    def find(x):
        if parent[x] != x:
            parent[x] = find(parent[x])
        return parent[x]
    def union(x, y):
        root_x = find(x)
        root_y = find(y)
        if root_x != root_y:
            parent[root_x] = root_y
            return True
        return False
    mst = []
    for weight, u, v in edges:
        if union(u, v):
            mst.append((u, v))
            if len(mst) == n - 1:
                break
    return mst

该算法的输入是连通加权图的权重矩阵$w$和顶点数$n$，输出是最小生成树的边集。

4.2 算法比较

算法	时间复杂度	适用场景
Prim 算法	最坏情况$O(n^3)$，优化后$O(n^2)$	适用于边稠密的图
Kruskal 算法	$O(E log E)$（$E$为边数）	适用于边稀疏的图

5. 二叉树的应用与拓展

二叉树在计算机科学中有广泛的应用，除了前面提到的二叉搜索树，还有很多其他的应用场景。

5.1 Huffman 编码树

Huffman 编码树是一种二叉树，用于数据压缩。在 Huffman 编码树中，从顶点到左子节点对应使用位 1，到右子节点对应使用位 0。通过构建 Huffman 编码树，可以实现对数据的高效压缩。

5.2 平衡二叉搜索树

为了避免二叉搜索树退化为链表，提高搜索效率，引入了平衡二叉搜索树，如 AVL 树、红黑树等。这些树通过在插入和删除操作时进行旋转等操作，保证树的高度始终保持在$O(log n)$，从而使搜索、插入和删除操作的时间复杂度都为$O(log n)$。

6. 算法正确性证明与复杂度分析

在算法设计中，证明算法的正确性和分析算法的复杂度是非常重要的。

6.1 Prim 算法正确性证明

Prim 算法的正确性可以通过归纳法证明。设$T_i$表示算法在第$i$次迭代后构建的图，$T_0$是只包含起始顶点的图。通过归纳证明对于所有$i = 0, \ldots, n - 1$，$T_i$都包含在某个最小生成树中，从而证明算法最终得到的$T_{n - 1}$是最小生成树。

6.2 复杂度分析

• Prim 算法 ：在最坏情况下，算法需要检查$O(n^3)$条边。通过优化，可以将时间复杂度降低到$O(n^2)$。
• Kruskal 算法 ：算法的时间复杂度主要取决于边的排序操作，为$O(E log E)$，其中$E$是边的数量。

7. 实际应用案例

这些算法和数据结构在实际中有很多应用，以下是一些具体案例：
- 网络布线 ：在构建计算机网络时，需要连接多个节点，使用最小生成树算法可以找到成本最低的布线方案。
- 数据存储与检索 ：二叉搜索树和平衡二叉搜索树可以用于数据库的索引，提高数据检索的效率。
- 数据压缩 ：Huffman 编码树可以用于文件压缩，减少数据的存储空间。

mermaid 格式流程图展示二叉搜索树插入操作流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[读取要插入的数据];
    B --> C[从根节点开始比较];
    C --> D{数据小于当前节点数据?};
    D -- 是 --> E{当前节点左子节点为空?};
    E -- 是 --> F[创建左子节点并插入数据];
    E -- 否 --> G[移动到左子节点继续比较];
    D -- 否 --> H{当前节点右子节点为空?};
    H -- 是 --> I[创建右子节点并插入数据];
    H -- 否 --> J[移动到右子节点继续比较];
    F --> K[结束];
    I --> K;
    G --> C;
    J --> C;

综上所述，图论中的树结构和相关算法在计算机科学和实际应用中都具有重要的地位。了解这些算法的原理、实现和应用场景，对于解决实际问题和提高编程能力都有很大的帮助。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法和数据结构，以达到最优的效果。