40、树的深入解析：从基础概念到实际应用-优快云博客

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树的深入解析：从基础概念到实际应用

1. 树的简介

树是图的一个广泛应用的子类，在计算机科学中尤为重要。它可用于组织数据库中的数据，还能解决理论问题，如排序的最优时间问题。

1.1 树的定义

自由树 ：一个简单图，若图中任意两个顶点之间存在唯一的简单路径，则该图为自由树。
根树：指定了一个特定顶点作为根的树。

1.2 示例说明

网球比赛 ：温布尔登网球锦标赛的单淘汰制比赛可看作一个树结构。以比赛胜者为根，该比赛就是一个根树。例如，在图中从顶点 v2 到 v7 的唯一简单路径是 (v2, v1, v3, v7)。
行政组织图 ：假设大学的行政组织结构图是一个根树，总统处于根节点，各副校长、院长等依次处于不同层次，体现了层级关系。
计算机文件系统 ：现代计算机操作系统使用树结构来组织文件夹和文件。如 Windows 资源管理器中，桌面是根，下面包含我的文档、我的电脑等文件夹，每个文件夹下又可包含其他文件夹和文件。
层次定义树 ：用于展示数据库中记录之间的逻辑关系，如用于管理多个图书馆书籍记录的数据库模型。
哈夫曼编码 ：是一种用可变长度位串表示字符的编码方式，相比 ASCII 等固定长度编码，能节省存储空间。它通过根树来定义，解码时从根开始，根据位串的 0 或 1 决定左右移动，直到遇到字符。

1.3 哈夫曼编码算法

def huffman(f, n):
    if n == 2:
        f1, f2 = f
        # 这里简单示意，实际应构建树结构
        T = None  
        return T
    fi, fj = min(f), sorted(f)[1]
    index_fi = f.index(fi)
    index_fj = f.index(fj)
    if index_fi == index_fj:
        index_fj = f[index_fi + 1:].index(fj) + index_fi + 1
    new_f = f.copy()
    new_f.pop(max(index_fi, index_fj))
    new_f.pop(min(index_fi, index_fj))
    new_f.append(fi + fj)
    T_prime = huffman(new_f, n - 1)
    # 这里简单示意，实际应替换顶点
    T = None  
    return T

1.4 哈夫曼编码示例

给定字符频率表：
| 字符 | 频率 |
| ---- | ---- |
|! | 2 |
| @ | 3 |
| # | 7 |
| $ | 8 |
| % | 12 |

算法步骤如下：
1. 重复替换最小的两个频率为它们的和，直到得到二元序列：
- 2, 3, 7, 8, 12 → 5, 7, 8, 12
- 5, 7, 8, 12 → 12, 8, 12
- 12, 8, 12 → 12, 20
2. 从二元序列 12, 20 开始反向构建树，最后将频率替换为对应字符得到最优哈夫曼编码树。

1.5 哈夫曼编码的应用

哈夫曼编码常用于传真机的数据压缩等场景，通过使用短位串表示常用字符，长位串表示不常用字符，能有效节省存储空间。

1.6 树的层级和高度

层级：根节点的层级为 0，其他顶点的层级是从根到该顶点的简单路径的长度。
高度：根树中出现的最大层级数。

1.7 树的层级和高度示例

顶点	层级
v1	0
v2	1
v3	1
v4	2
v5	2
v6	2
v7	2

该树的高度为 2。

2. 树的术语和特征

2.1 术语定义

父节点 ：在根树中，若顶点 a 的层级比顶点 b 低一级，且 a 和 b 相邻，则 a 是 b 的父节点。
后代节点 ：若顶点 a 是顶点 b 的祖先，则 b 是 a 的后代。
兄弟节点 ：具有相同父节点的顶点互为兄弟节点。
终端顶点（叶子节点） ：没有子节点的顶点。
内部顶点（分支节点） ：非终端顶点。
子树：以某个顶点为根，包含该顶点及其所有后代的子图。

2.2 树的特征定理

设 T 是一个有 n 个顶点的图，以下条件等价：
- T 是树。
- T 是连通且无环的图。
- T 是连通的且有 n - 1 条边。
- T 是无环的且有 n - 1 条边。

2.3 定理证明

(a) → (b) ：树的定义表明任意两个顶点之间有唯一简单路径，所以树是连通的。假设树中有环，根据环的性质会存在两个不同的简单路径连接环上的两个顶点，这与树的定义矛盾，所以树无环。
(b) → (c) ：使用归纳法证明。当 n = 1 时，图只有一个顶点和零条边，满足条件。假设对于有 n 个顶点的连通无环图，边数为 n - 1。对于有 n + 1 个顶点的连通无环图，找到一条最长的无重复边路径，该路径上存在一个度为 1 的顶点 v。移除顶点 v 及其关联边后，得到一个有 n 个顶点的连通无环图，根据归纳假设，其边数为 n - 1，所以原图边数为 n。
(c) → (d) ：假设 T 有环，移除环上的边直到图无环，得到的连通无环图有 n 个顶点，根据前面的结论，边数应为 n - 1，但原图强连通且有环时边数大于 n - 1，矛盾，所以 T 无环。
(d) → (a) ：首先，T 无环，所以没有自环和多重边，是简单图。假设 T 不连通，有 k 个连通分量，每个分量有 ni 个顶点，边数为 ni - 1，则总边数为 (n1 - 1) + (n2 - 1) + … + (nk - 1) < (n1 + n2 + … + nk) - 1 = n - 1，与已知边数为 n - 1 矛盾，所以 T 连通。假设存在两条不同的简单路径从顶点 a 到 b，会形成一个环，与 T 无环矛盾，所以任意两个顶点之间有唯一简单路径，T 是树。

2.4 问题解决技巧

利用上述树的特征可以判断一个图是否为树。例如，一个有四条边和六个顶点的图不是树，因为它不满足“有 n - 1 条边”的条件，该图要么不连通，要么有环。一个连通图若顶点数为 n 且边数多于 n - 1，则一定有环。

2.5 树的性质示例

性质	示例
树是平面图	树可以在平面上绘制而不出现边交叉的情况。
树有度为 1 的顶点	任意有两个或更多顶点的树至少有一个度为 1 的顶点。
树是二分图	树的顶点可以用两种颜色着色，使得每条边的两个端点颜色不同。

2.6 树的性质证明

树是平面图 ：树可以通过递归的方式在平面上绘制，从根节点开始，依次绘制子节点，不会出现边交叉的情况。
树有度为 1 的顶点 ：假设树中所有顶点的度都大于等于 2，从一个顶点开始沿着边遍历，由于每个顶点都有至少两条边，最终会形成一个环，这与树无环矛盾，所以树中至少有一个度为 1 的顶点。
树是二分图 ：选择一个顶点作为根，将根节点染成一种颜色，然后将其所有子节点染成另一种颜色，再将子节点的子节点染成第一种颜色，以此类推。由于树无环，不会出现相邻顶点颜色相同的情况，所以树是二分图。

2.7 树的相关概念示例

概念	示例
顶点的偏心率	树中一个顶点的偏心率是从该顶点出发的最长简单路径的长度。
树的中心	树中偏心率最小的顶点称为树的中心。树要么有一个中心，要么有两个相邻的中心。
树的半径和直径	树的半径可以通过偏心率和中心的概念定义，直径是图中任意两个顶点之间的最长路径长度。一般情况下，2r 不一定等于 d。

2.8 树的相关概念示例说明

例如，在一个树中，通过计算每个顶点的偏心率，可以找到树的中心。树的半径和直径的关系可以通过具体的树结构来验证，不同的树结构可能会导致 2r 不等于 d。

2.9 树的术语总结

术语	定义
父节点	若顶点 a 的层级比顶点 b 低一级，且 a 和 b 相邻，则 a 是 b 的父节点。
后代节点	若顶点 a 是顶点 b 的祖先，则 b 是 a 的后代。
兄弟节点	具有相同父节点的顶点互为兄弟节点。
终端顶点（叶子节点）	没有子节点的顶点。
内部顶点（分支节点）	非终端顶点。
子树	以某个顶点为根，包含该顶点及其所有后代的子图。
无环图	没有环的图。

2.10 树的特征总结

特征	说明
连通且无环	树是连通的，且不包含任何环。
有 n - 1 条边	有 n 个顶点的树有 n - 1 条边。
任意两点有唯一路径	树中任意两个顶点之间存在唯一的简单路径。

2.11 树的应用总结

应用	说明
组织数据	用于数据库、文件系统等，体现层级关系。
编码压缩	如哈夫曼编码，节省存储空间。
解决理论问题	如排序的最优时间问题。

通过以上对树的介绍和分析，我们可以看到树在计算机科学和其他领域有着广泛的应用，理解树的基本概念和性质对于解决相关问题至关重要。

3. 生成树与最小生成树

3.1 生成树的概念

生成树是一个连通图的子图，它包含图的所有顶点且是一棵树。也就是说，生成树是一个极小的连通子图，去掉任何一条边都会使它不连通。例如，对于一个具有多个顶点和边的复杂网络，其生成树可以看作是连接所有顶点的最少边的集合。

3.2 生成树的存在性

一个图存在生成树的充要条件是该图是连通的。如果图不连通，那么它无法形成一个包含所有顶点的树结构。下面通过一个简单的流程图来展示判断图是否存在生成树的过程：

graph TD;
    A[输入图 G] --> B{图 G 是否连通};
    B -- 是 --> C[图 G 存在生成树];
    B -- 否 --> D[图 G 不存在生成树];

3.3 最小生成树的定义

在一个带权连通图中，最小生成树是指边权之和最小的生成树。例如，在一个城市之间的交通网络中，每个城市是顶点，道路是边，边的权值可以表示道路的建设成本。最小生成树就是用最小的总成本连接所有城市的道路网络。

3.4 最小生成树的算法

常见的求最小生成树的算法有 Prim 算法和 Kruskal 算法。
- Prim 算法 ：从一个顶点开始，每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边，将其加入生成树，直到包含所有顶点。
- 操作步骤 ：
1. 选择一个起始顶点，将其加入生成树的顶点集合。
2. 从与生成树顶点集合相连的边中选择权值最小的边，将该边的另一个顶点加入生成树顶点集合。
3. 重复步骤 2，直到生成树包含所有顶点。
- Kruskal 算法 ：将图中的边按权值从小到大排序，依次选择边加入生成树，只要加入的边不会形成环，直到包含所有顶点。
- 操作步骤 ：
1. 将图中的所有边按权值从小到大排序。
2. 从权值最小的边开始，依次选择边加入生成树。
3. 若加入的边会形成环，则跳过该边。
4. 重复步骤 2 和 3，直到生成树包含所有顶点。

3.5 最小生成树算法示例

假设有一个带权图，顶点集合为 {A, B, C, D}，边和权值如下表所示：
| 边 | 权值 |
| ---- | ---- |
| (A, B) | 2 |
| (A, C) | 4 |
| (B, C) | 1 |
| (B, D) | 3 |
| (C, D) | 5 |

使用 Prim 算法，从顶点 A 开始：
1. 初始顶点集合为 {A}，与 A 相连的边中权值最小的是 (A, B)，将 B 加入顶点集合，此时顶点集合为 {A, B}。
2. 与 {A, B} 相连的边中权值最小的是 (B, C)，将 C 加入顶点集合，此时顶点集合为 {A, B, C}。
3. 与 {A, B, C} 相连的边中权值最小的是 (B, D)，将 D 加入顶点集合，此时顶点集合为 {A, B, C, D}，得到最小生成树，边集合为 {(A, B), (B, C), (B, D)}，边权之和为 2 + 1 + 3 = 6。

使用 Kruskal 算法：
1. 边按权值从小到大排序为：(B, C)（权值 1），(A, B)（权值 2），(B, D)（权值 3），(A, C)（权值 4），(C, D)（权值 5）。
2. 依次选择边：先选 (B, C)，再选 (A, B)，接着选 (B, D)，此时已包含所有顶点，得到最小生成树，边集合为 {(B, C), (A, B), (B, D)}，边权之和为 6。

4. 二叉树及其遍历

4.1 二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。例如，在计算机科学中，二叉树常用于搜索算法和数据存储。

4.2 二叉树的类型

满二叉树 ：每个非叶子节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。
完全二叉树 ：除了最后一层，每一层都被完全填充，且最后一层的叶子节点都靠左排列。

4.3 二叉树的表示

可以使用链表或数组来表示二叉树。
- 链表表示 ：每个节点包含数据、左子节点指针和右子节点指针。
- 数组表示 ：对于完全二叉树，可以使用数组按层序存储节点，节点 i 的左子节点为 2i + 1，右子节点为 2i + 2。

4.4 二叉树的遍历

二叉树的遍历是指按一定顺序访问二叉树的所有节点，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
- 前序遍历 ：先访问根节点，再递归访问左子树，最后递归访问右子树。
- 操作步骤 ：
1. 访问根节点。
2. 前序遍历左子树。
3. 前序遍历右子树。
- 中序遍历 ：先递归访问左子树，再访问根节点，最后递归访问右子树。
- 操作步骤 ：
1. 中序遍历左子树。
2. 访问根节点。
3. 中序遍历右子树。
- 后序遍历 ：先递归访问左子树，再递归访问右子树，最后访问根节点。
- 操作步骤 ：
1. 后序遍历左子树。
2. 后序遍历右子树。
3. 访问根节点。

4.5 二叉树遍历示例

假设有如下二叉树：

graph TD;
    A --> B;
    A --> C;
    B --> D;
    B --> E;
    C --> F;
    C --> G;

前序遍历 ：A -> B -> D -> E -> C -> F -> G
中序遍历 ：D -> B -> E -> A -> F -> C -> G
后序遍历 ：D -> E -> B -> F -> G -> C -> A

4.6 二叉树遍历的应用

前序遍历 ：常用于复制二叉树或创建表达式树。
中序遍历 ：对于二叉搜索树，中序遍历可以得到节点的有序序列。
后序遍历 ：常用于释放二叉树的内存或计算表达式的值。

5. 决策树与排序的最小时间

5.1 决策树的概念

决策树是一种用于决策的树结构，每个内部节点是一个决策点，每个分支是一个决策结果，叶子节点是最终的决策结果。例如，在医疗诊断中，决策树可以根据患者的症状和检查结果做出诊断。

5.2 决策树在排序中的应用

在排序问题中，可以使用决策树来分析排序算法的时间复杂度。每个内部节点表示一次比较操作，叶子节点表示一种可能的排序结果。

5.3 排序的最小时间

通过决策树可以证明，对于 n 个元素的排序，比较排序算法的时间复杂度下限是 $O(n log n)$。这是因为 n 个元素的全排列有 $n!$ 种，决策树的叶子节点至少有 $n!$ 个，而决策树的高度至少为 $log(n!)$，根据斯特林公式，$log(n!)$ 近似为 $n log n$。

5.4 决策树示例

假设有三个元素 a, b, c，其决策树如下：

graph TD;
    A{a < b?} -->|是| B{b < c?};
    A -->|否| C{a < c?};
    B -->|是| D[a < b < c];
    B -->|否| E[a < c < b];
    C -->|是| F[c < a < b];
    C -->|否| G[b < c < a];
    C -->|否| H[b < a < c];

这个决策树展示了通过比较操作对三个元素进行排序的过程。

6. 树的同构

6.1 树同构的定义

两棵树同构是指它们的结构相同，即可以通过重新标记顶点使两棵树完全相同。例如，两棵树的节点连接方式和层次结构一致，只是节点的标签不同，那么这两棵树同构。

6.2 树同构的判断方法

判断两棵树是否同构可以通过递归的方式进行。
- 操作步骤 ：
1. 如果两棵树都为空，它们同构。
2. 如果一棵树为空，另一棵不为空，它们不同构。
3. 比较两棵树的根节点的子树数量和结构，如果子树数量不同，它们不同构。
4. 递归地比较根节点的子树是否同构。

6.3 树同构的示例

假设有两棵树 T1 和 T2：

graph TD;
    A1 --> B1;
    A1 --> C1;
    B1 --> D1;
    B1 --> E1;
    C1 --> F1;
    C1 --> G1;
    A2 --> B2;
    A2 --> C2;
    B2 --> D2;
    B2 --> E2;
    C2 --> F2;
    C2 --> G2;

这两棵树的结构相同，只是节点标签不同，它们是同构的。