39、图论中的四色问题与 Instant Insanity 谜题解析

图论中的四色问题与 Instant Insanity 谜题解析

1. 四色问题相关探讨

在图论领域，四色问题是一个经典且引人入胜的话题。Appel 和 Haken 证明了每个简单的平面图都可以用四种颜色进行着色。这个问题早在 19 世纪中叶就被提出，但多年来一直无人能成功给出证明。近年来，研究四色问题的人有了一个前辈们所没有的优势，即使用快速电子计算机。

假设存在一个简单的平面图，需要用超过四种颜色来着色。在所有这样的图中，有一个图的顶点数最少。设 G 是这个图的三角剖分图，那么 G 也具有最少的顶点数，并且根据相关练习可知，G 需要用超过四种颜色来着色。

下面我们来看一些相关的证明和问题：
- 证明 3f = 2e ：在简单平面图的三角剖分中，可以证明 3f = 2e。这里的 f 表示面的数量，e 表示边的数量。
- 关于对偶图顶点度数的问题 ：如果一个地图的对偶图有一个度数为 3 的顶点，那么原地图会呈现出特定的样子。
- 证明 G 不存在特定度数的顶点 ：可以证明 G 不能有度数为 3 和 4 的顶点，并且 G 一定有一个度数为 5 的顶点。Appel 和 Haken 的贡献在于表明只需要考虑有限个涉及度数为 5 的顶点的情况，并对所有这些情况进行分析，证明它们都可以用四种颜色着色。利用计算机有助于找出需要分析的情况，然后再用计算机对这些情况进行分析。
- 证明简单平面图可用五种颜色着色 ：还可以证明任何简单的平面图都可以用五种颜色进行着色。

2. Instant