36、图论中的问题解决与哈密顿循环

图论中的问题解决与哈密顿循环

1. 图论基础问题

在图论中，有许多有趣的基础问题等待我们去探索。
- 二分图与闭路径 ：一个连通图 (G) 是二分图当且仅当 (G) 中的每个闭路径长度为偶数。这为判断一个图是否为二分图提供了一个重要的依据。
- 完全图 (K_n) 中的路径数量 ：
- 长度为 (k\geq1) 的路径数量相关问题，以及长度在 (1) 到 (k)（包含两端）的路径数量为 (\frac{n(n - 1)[(n - 1)^k - 1]}{n - 2})（(n>2)）。
- 设 (v) 和 (w) 是 (K_n) 中不同的顶点，(p_m) 表示从 (v) 到 (w) 长度为 (m)（(1\leq m\leq n)）的路径数量，我们可以推导出其递推关系并找到显式公式。
- 从 (v) 到 (w) 的简单路径数量为 ((n - 2)!\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{1}{k!})，并且在 (K_n) 中简单路径的数量为 (\lfloor n!e^{-1}\rfloor)（(e = 2.71828…) 是自然对数的底数）。
- 图的等价关系 ：对于图 (G)，定义顶点集 (V) 上的关系 (R) 为：若存在从 (v) 到 (w) 的路径，则 (vRw)。可以证明 (R) 是 (V) 上的等价关系。
- 欧拉循环 ：一个连通图，若有一个或两个顶点且每个顶点的度数为偶数，则该图有欧拉循环。
- 图的直径 ：对于连通图 (G)，顶