22、数论基础与欧几里得算法详解

数论基础与欧几里得算法详解

1. 八进制数系统

在八进制（以 8 为基数）数系统中，我们使用符号 0、1、2、3、4、5、6 和 7 来表示整数。从右向左读取整数时，第一个符号表示 1 的个数，下一个符号表示 8 的个数，再下一个符号表示 $8^2$ 的个数，依此类推。一般来说，位置 n（最右边的符号位置为 0）的符号表示 $8^n$ 的个数。

例如，对于八进制数 63，它可以转换为十进制数：$6\times8^1 + 3\times8^0 = 48 + 3 = 51$。

以下是一些相关练习：
- 将八进制数 63、7643、7711、10732、1007、537261 转换为十进制。
- 将某些二进制数转换为八进制，将某些十进制数转换为八进制，将某些十六进制数转换为八进制，以及将上述八进制数转换为十六进制。
- 判断 1101010 是否为八进制数，30470 是否为二进制、八进制、十进制或十六进制数，9450 是否为二进制、八进制、十进制或十六进制数。
- 证明以 b 为基数的整数 m 有 $\lfloor1 + \log_b m\rfloor$ 位。

2. 欧几里得算法

欧几里得算法是一种古老、著名且高效的算法，用于寻找两个整数的最大公约数。它基于这样一个事实：如果 $r = a \bmod b$，那么 $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$。

2.1 算法原理证明

设 $a$ 是非负整数，$b$ 是正整数，且 $r = a \bmod b$。根据商 - 余数定理，存在 $q$ 和 $r$ 满足 $a = bq + r$，其中 $0 \