欧几里得算法详解

欧几里得算法

欧几里得的辗转相除法计算的是两个自然数a和b的最大公约数g，意思是能够同时整除a和b的自然数中最大的一个。两个数的最大公约数通常写成gcd(a, b)，如果有gcd(a, b)==1，则有a，b互质。

环论定义

在数学中，尤其是高等数学的环论中，最大公约数有一个更加巧妙的定义：a和b的最大公约数g是a和b的线性和中（绝对值）最小的一个，即所有形如ua + vb（其中u和v是整数,并且u,v都可能是0或负数，正数）的数中（绝对值）最小的数。举例说明 ：a,b为14，21。则u,v分别为-1，1。扩展欧几里得中用到这个性质。
所有ua + vb都是g的整数倍（ua + vb = mg，其中m是整数）。

代码实现

递归

int Gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return Gcd(b, a % b);
}

迭代

int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p*a+q*b=Gcd(a,b)(根据数论中的相关定理解一定存在，不展开叙述)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

代码实现

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return r;
}

Stein算法

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，因此对于大素数Stein将更有优势。

代码实现

int Gcd(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;
    if(b == 0) return a;
    if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * Gcd(a >> 1, b >> 1);
    else if(a % 2 == 0)  return Gcd(a >> 1, b);
    else if(b % 2 == 0) return Gcd(a, b >> 1);
    else return Gcd(abs(a - b), min(a, b));
}