15、函数、序列、关系与矩阵：深入解析与应用

函数、序列、关系与矩阵：深入解析与应用

1. 关系相关的基础问题与证明

在关系的研究中，有一系列基础问题和证明需要我们去探讨。
- 关系的闭包运算 ：对于关系 (R_1) 和 (R_2)，需要求出 (\rho(R_i))、(\sigma(R_i))、(\tau(R_i)) 以及 (\tau(\sigma(\rho(R_i))))（(i = 1, 2)）。这里的 (\rho(R)) 表示自反闭包，(\sigma(R)) 表示对称闭包，(\tau(R)) 表示传递闭包。
- 闭包性质证明
- 要证明 (\rho(R)) 是自反的。根据自反性的定义，对于集合中的每个元素 (x)，都有 ((x, x) \in \rho(R))。
- 证明 (\sigma(R)) 是对称的。即若 ((x, y) \in \sigma(R))，则 ((y, x) \in \sigma(R))。
- 证明 (\tau(R)) 是传递的。也就是若 ((x, y) \in \tau(R)) 且 ((y, z) \in \tau(R))，那么 ((x, z) \in \tau(R))。
- 证明 (\tau(\sigma(\rho(R)))) 是包含 (R) 的等价关系，并且是包含 (R) 的最小等价关系。
- 证明 (R) 是传递的当且仅当 (\tau(R) = R)。
- 关系运算等式证明 ：对于一些关于关系运算的等式，如 (\rho(R_1 \cup R_2) = \rho(R_1) \cup \rho(R_2))、(\sigma(R_1 \cap R_2)