13、关系：概念、性质与应用

关系：概念、性质与应用

1. 关系的基本概念

关系可以被看作是一个表格，它列出了一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间的关联。例如，下面的表格展示了学生与课程之间的关系：
| Student | Course |
| ---- | ---- |
| Bill | CompSci |
| Mary | Math |
| Bill | Art |
| Beth | History |
| Beth | CompSci |
| Dave | Math |

从抽象的角度来看，关系被定义为有序对的集合。如果有序对 $(x, y)$ 属于关系 $R$，我们就说 $x$ 与 $y$ 相关，记作 $x R y$。一个从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的二元关系 $R$ 是笛卡尔积 $X × Y$ 的一个子集。如果 $X = Y$，则称 $R$ 是集合 $X$ 上的二元关系。

函数是一种特殊类型的关系。一个从 $X$ 到 $Y$ 的函数 $f$ 是一个从 $X$ 到 $Y$ 的关系，并且具有以下性质：
- 函数 $f$ 的定义域等于 $X$。
- 对于每个 $x ∈ X$，恰好存在一个 $y ∈ Y$ 使得 $(x, y) ∈ f$。

2. 关系的表示方法

关系可以通过多种方式表示，例如有序对集合、表格和有向图。

2.1 有序对集合表示

例如，对于上述学生与课程的关系，我们可以将其表示为有序对的集合：
$R = {(Bill, CompSci), (Mary, Math), (Bill, Art), (Beth, Hi