11、数学证明与函数知识全解析

数学证明与函数知识全解析

1. 数学证明基础概念

数学证明中涉及众多基础概念，理解这些概念是进行有效证明的基石。
- 数学系统相关概念 ：包含数学系统、公理、定义、未定义术语、定理、证明、引理等。公理是无需证明而被接受的陈述，定义则是对术语含义的精确说明。例如在几何中，“两点确定一条直线”可看作公理，而“三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形”就是定义。
- 证明方法分类
- 直接证明 ：从已知条件出发，通过一系列逻辑推理得出结论。比如证明“若(x)和(y)是有理数且(y\neq0)，则(\frac{x}{y})是有理数”，可设(x = \frac{m}{n})，(y = \frac{p}{q})（(m,n,p,q)为整数，(n\neq0)，(q\neq0)），然后得出(\frac{x}{y}=\frac{m}{n}\cdot\frac{q}{p}=\frac{mq}{np})，因为(mq)和(np)是整数且(np\neq0)，所以(\frac{x}{y})是有理数。
- 间接证明 ：包括反证法和逆否命题证明法。反证法是先假设结论不成立，然后推出矛盾。例如证明“若四个队进行七场比赛，则有两队至少比赛两次”，假设任意两队至多比赛一次，那么比赛总场次最多为(C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=6)场，这与已知的七场比赛矛盾，所以原命题成立。逆否命题证明法是通过证明原命题的逆否命题为真来证明原命题为真。
- 其他证明方法 ：还有分情况证明、穷举证明、存在性证明