10、数学证明与归纳法：原理、应用与案例分析

数学证明与归纳法：原理、应用与案例分析

1. 差分算子与求和公式

在处理数列问题时，差分算子 $\Delta$ 是一个重要的工具。对于数列 $a_1, a_2, \cdots$，差分算子 $\Delta$ 定义为：$\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n$。

练习 70 的公式有时可用于求求和公式，而非使用归纳法证明求和公式。例如，若 $\Delta a_n = b_n$，则有：$b_1 + b_2 + \cdots + b_n = a_{n + 1} - a_1$。这个公式类似于微积分中的公式 $\int_{c}^{d} f(x) dx = g(d) - g(c)$，其中 $Dg = f$（$D$ 是导数算子）。在微积分公式中，求和被积分取代，$\Delta$ 被导数取代。

以下是一些具体的应用示例：
- 示例 1 ：设 $a_n = n^2$，计算 $\Delta a_n$，并使用练习 70 的公式求 $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ 的公式。
- 计算 $\Delta a_n$：
$\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$。
- 求 $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ 的公式：
令 $b_n = 2n + 1$，则 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = a_{n + 1} - a_1 = (n + 1)^2 - 1^2 = n^2 + 2n$。
又因为 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = 3 + 5 + \cdots +