9、数学证明方法与技巧解析

数学证明方法与技巧解析

一、实数性质证明

1.1 相关定义

• 上界 ：设 (X) 是一个非空实数集，若实数 (a) 满足对于任意 (x\in X)，都有 (x\leq a)，则称 (a) 是 (X) 的一个上界。
• 最小上界 ：若 (a) 是 (X) 的上界，且对于 (X) 的任意上界 (b)，都有 (b\geq a)，则称 (a) 是 (X) 的最小上界，记为 (a = lub X)。

1.2 问题示例与求解

1.2.1 示例 1：找出集合 (X) 及其三个不同上界，其中一个为最小上界

设 (X = {1, 2, 3, 4})，其三个上界可以是 (4)、(5)、(6)，其中 (4) 是最小上界。因为对于任意 (x\in X)，都有 (x\leq 4)，且若 (a) 是 (X) 的上界，由于 (4\in X)，则 (4\leq a)。

1.2.2 示例 2：证明最小上界的唯一性

若 (a) 和 (b) 是集合 (X) 的最小上界，因为 (a) 是最小上界，(b) 是上界，所以 (a\leq b)；同理，因为 (b) 是最小上界，(a) 是上界，所以 (b\leq a)。因此，(a = b)。

1.2.3 示例 3：证明若 (X) 的最小上界为 (a)，(\epsilon>0)，则存在 (x\in X) 使得 (a - \epsilon < x\leq a)

设 (\epsilon>0)，因为 (a -