UVa1342 That Nice Euler Circuit(欧拉函数)

最新推荐文章于 2024-12-18 10:56:28 发布

原创最新推荐文章于 2024-12-18 10:56:28 发布 · 504 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#训练指南第四章-几何

训练指南第四章_几何专栏收录该内容

4 篇文章

订阅专栏

本文介绍了解决UVa1342问题的方法，该问题要求计算由多个点构成的多边形将平面分割成的区域数量。通过使用欧拉定理（V+F-E=2），文章详细阐述了如何确定顶点数（V）、边数（E）以及由此推导出的面数（F）。文中还提供了完整的AC代码。

UVa1342 That Nice Euler Circuit(欧拉函数)

题意：给定n个点连成的多边形，求把平面分成了多少块。
这个题用到欧拉定理：应该算是多面体欧拉定理，简单多面体定点数V，棱数E面数F
满足公式：V+F-E=2
二维平面也满足这个公式，涉及到二维拓扑多面体。
有了公式求解面数就好求面数，不知道公式还不知道怎么做。
本题思路：求解顶点数和棱数，定点数有开始所有顶点加上，枚举任意两条边求交点，然后加入到V数组
而后排序重，棱数为开始棱数加上，已求到的所有顶点是否在任意边上，若在，则把这条边分成两个，棱数加1。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Point{
    double x,y;
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
};
typedef Point Vector;
Vector operator + (Vector A,Vector B) { return Vector(A.x+B.x, A.y+B.y); }
Vector operator - (Vector A,Vector B) { return Vector(A.x-B.x, A.y-B.y); }
Vector operator * (Vector A,double p) { return Vector(A.x*p, A.y*p); }
Vector operator / (Vector A,double p) { return Vector(A.x/p, A.y/p); }
bool operator < (const Point&a,const Point&b){
    return a.x<b.x||(a.x==b.x && a.y<b.y);
}
const double eps=1e-10;
int dcmp(double x){
    if(fabs(x)<eps) return 0; else return x < 0 ? -1 : 1;
}
bool operator == (const Point& a,const Point& b){
    return dcmp(a.x-b.x)==0 &&dcmp(a.y-b.y)==0;
}
double Dot(Vector A,Vector B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; }
double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A,A)); }
double Angle(Vector A,Vector B) { return acos(Dot(A,B) / Length(A) / Length(B) ); }
double Cross(Vector A,Vector B) { return A.x*B.y-A.y*B.x; }
/**
first input right Edge,Cross product be Positive.
*/
double Area2(Point A,Point B,Point C) { return Cross(B-A,C-A); }
Vector Rotate(Vector A,double rad){
    return Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad), A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));
}
Point GetLineIntersection(Point P,Vector v,Point Q,Vector w){
    Vector u = P - Q;
    double t = Cross(w,u) / Cross(v,w);
    return P + v*t;
}
bool SegmentProperIntersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2){
    double c1 = Cross(a2-a1,b1-a1), c2 = Cross(a2-a1,b2-a1),
            c3 = Cross(b2-b1,a1-b1), c4 = Cross(b2-b1,a2-b1);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0 && dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
}
bool OnSegment(Point p,Point a1,Point a2){
    return dcmp(Cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(Dot(a1-p,a2-p))<0;
}
const int maxn = 300 + 50;
Point V[maxn*maxn],P[maxn];
int e,v;
/**
Euler Theorem
V+F-E=2;
*/
int main()
{
    int n,c=1;
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
            V[i]=P[i];
        }
        n-=1;
        e=n,v=n;
        /**
        find if there be more Points of intersection
        */
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<n;j++)
                if(SegmentProperIntersection(P[i],P[i+1],P[j],P[j+1])){
                    V[++v]=GetLineIntersection(P[i],P[i+1]-P[i],P[j],P[j+1]-P[j]);
                }
        sort(V,V+v+1);
        v = unique(V,V+v+1)-V;
        /**
        find if there be more Edges
        */
        for(int i=0;i<v;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
            if(OnSegment(V[i],P[j],P[j+1])) e++;
        printf("Case %d: There are %d pieces.\n",c++,e-v+2);
    }
    return 0;
}